压轴题打卡73：相似有关的综合问题分析

已知△ABC中，∠ACB=90°（如图），点P到∠ACB两边的距离相等，且PA=PB．

（1）先用尺规作出符合要求的点P（保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP的形状，并说明理由；

（2）设PA=m，PC=n，试用m、n的代数式表示△ABC的周长和面积；

（3）设CP与AB交于点D，试探索当边AC、BC的长度变化时，CD/AC+CD/BC的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由．

参考答案：

考点分析：

相似形综合题；探究型．

题干分析：

（1）先根据角平分线及线段垂直平分线的作法作出P点，过点P分别作PE⊥AC、PF⊥CB，垂足为E、F，由全等三角形的判定定理得出Rt△APE≌Rt△BPF，再由全等三角形的性质即可判断出△ABP是等腰直角三角形；

（2）在Rt△PAB中，由∠APB=90°，PA=PB，PA=m，可得出AB=√2m，由Rt△APE≌Rt△BPF，△PCE≌△PCF，可得AE=BF，CE=CF，故CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE，在Rt△PCE中，∠PEC=90°，∠PCE=45°，PC=n，可知CE=PE=√2n/2，即CA+CB=2CE=√2n，由△ABC的周长为=AB+BC+CA即可得出其周长，再根据S_△ABC=S_△PAC+S_△PBC﹣S_△PAB即可得出其面积；

（3）过点D分别作DM⊥AC、DN⊥BC，垂足为M、N，由角平分线的定义及锐角三角函数的定义可知DM=DN=CDsin45°=√2CD/2，由平行线分线段成比例定理可知DN/AC=DB/AB，DM/BC=AD/AB，再把两式相加即可得出结论．

解题反思：

本题考查的是相似形综合题，涉及到角平分线及线段垂直平分线的作法及性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质及三角形的面积公式，涉及面较广，难度较大．