用空间向量速求二面角的几种方法

利用空间向量求二面角，思路切入快，但常规方法运算量大，过程比较复杂，容易出错，是学生的常见失分点.在某些条件下，可以采用更简单的运算，快速求出结果，下面笔者介绍几种方法.

一、运用截距法速求平面的法向量

结论 在空间直角坐标系中，如果一个平面与坐标轴分别交于点A(a,0,0)，B(0,b,0)，C(0,0,c)，其中abc≠0，那么这个平面的法向量为

用常规求法向量的方法易证，证明过程略.下面举例来说明截距法的运用.

【例1】(2019·天津卷·理17)如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC,AD⊥AB，AB=AD=1,AE=BC=2.

(Ⅰ)求证：BF∥平面ADE；

(Ⅱ)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；

(Ⅲ)若二面角E-BD-F的余弦值为

求线段CF的长.

解析：(Ⅰ)证明略.

(Ⅱ)建立如图的空间直角坐标系A-xyz，得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2),显然平面BDE在坐标轴上的截距为x=1,y=1,z=2，所以平面BDE的法向量为

所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为

(Ⅲ)设CF=2k，由图知，只要找到平面BDF在z轴上的截距就可求得平面BDF的法向量，连接AC交BD于点G，则AG∶GC=1∶2，延长FG交AE于点M，由相似知识可知AM=k，故平面BDF在坐标轴上的截距为x=1,y=1,z=-k，所以平面BDF的法向量

故

解得k=0(舍去)或

所以

评析 (Ⅱ)中若用传统求法向量的方法，则需要设法向量的坐标，利用法向量与平面中两个不共线向量的数量积为零列方程组，求得法向量，过程比较麻烦，运算量大.而运用截距法求平面的法向量，只需要知道平面在坐标轴上的截距就可以直接得出法向量，不需要计算，大大减少了运算量，且提高了运算的准确度.(Ⅲ)中若用列方程组的方法求法向量，不仅法向量是未知的，且点F的坐标中也含有未知数，更增加了运算量与难度，而运用截距法求平面的法向量，求出了截距之后，法向量一步就到位，绕开了求含参数的方程组，快速得到法向量，顺利求得结果.

二、利用二面角的定义，不求法向量

【例2】(2014·重庆卷·理19)如图，四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面

为BC上一点，且

(Ⅰ)求PO的长；

(Ⅱ)求二面角A-PM-C的正弦值.

解析：(Ⅰ)过程略，

建立如图的空间直角坐标系O-xyz，则点

因为PA⊥PM，同时利用已知可证BC⊥PM，所以向量

与向量

所成的角就是二面角A-PM-C的大小，

解得

所以二面角A-PM-C的正弦值为

评析 在二面角的两个半平面内若能分别找到垂直二面角的棱的直线，由二面角的定义，则可以转化为求这两直线的方向向量所成的角，不需要在三角形中用余弦定理求解，也不需要求两平面的法向量，简化了运算过程，大大减少了运算量，同时可以提高运算的效率，可以快速求出结果.

三、利用共线向量找等效向量

【例3】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD=λBC，AD∥BC，∠BCD=90°，M为线段PB上一点.

(Ⅰ)若

则在线段PB上是否存在点M，使得AM∥平面PCD？若存在，请确定M点的位置；若不存在，请说明理由；

(Ⅱ)已知PA=2，AD=1，若异面直线PA与CD成90°角，二面角B-PC-D的余弦值为

求CD的长.

解析：(Ⅰ)延长BA与CD交于点N，由线面平行的性质定理易知存在点M为线段PB上靠近点P的三等分点.

(Ⅱ)∵PA⊥CD,PA⊥AD，AD∩CD=D，AD∈平面ABCD，CD∈平面ABCD∴PA⊥平面ABCD，建立如图的空间直角坐标系A-xyz，则点P(0,0,2)，D(0,1,0)，设点C(a,1,0)，则

因为DC∥x轴，向量

等效向量(1,0,0)，∵AD∥BC，∴向量

等效向量(0,1,0).设平面PCD的法向量n1=(x,y,z)，由截距法得

设平面BPC的法向量n2=(X,Y,Z)，则

得

由

解得a=2或a=-2(舍去)，故CD=2.

评析 本题第(Ⅱ)问中，若按常规思路求法向量，需设B，C两点的坐标，含有两个参数，运算量很大，很多同学算出的法向量形式复杂，再利用二面角的值反求参数就更难运算了，很多同学根本算不出来，而本文利用截距法求平面PCD的法向量，简简单单.在求平面BPC的法向量时，利用向量共线找等效向量，得

等效向量(0,1,0)，不用设B点的坐标，又不需要用B，C两点坐标相减的方法得

也减少了坐标运算.

四、利用等效平面

【例4】如图，在四棱锥P-ABCD中，△ABD是正三角形，△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°,PC⊥BD.

(Ⅰ)求证：BP=DP；

(Ⅱ)若

平面PBD⊥平面ABCD，直线AP与平面ABCD所成的角为45°，G为△APC的重心，设经过直线AG且与直线BC平行的平面为α，求平面α与平面ABCD所成角的余弦值.

解析：(Ⅰ)连接AC交BD于点O，∵△ABD为正三角形，△BCD是等腰三角形，

∴AC⊥BD且O为BD的中点.由已知PC⊥BD，PC∈平面APC，可得BD⊥平面APC.

∴BD⊥PO.又∵O为BD的中点，∴△PBD为等腰三角形，即PB=PD.

(Ⅱ)由平面PBD⊥平面ABCD，PO⊥BD，得PO⊥平面ABCD，以O为原点，建立如图的空间直角坐标系O-xyz，由已知得∠PAO=45°，故PO=3，又由∠BCD=120°，得CO=1，则点

设平面α的法向量n1=(x,y,z)，则

即

则

由已知可设平面ABCD的其中一个法向量n2=(0,0,1)，

得

由图知平面α与平面ABCD所成角为锐二面角，故余弦值为

评析 该题按常规思维是要确定平面α与四棱锥侧棱的交点，然后求出交点坐标，再求两平面的法向量，显然在立体几何中确定平面与直线的交点是难点，比较抽象.本题中平面α经过直线AG且与直线BC平行，显然平面α的法向量等效由

与

确定的法向量，不需知道平面α与四棱锥侧棱的交点，既推理简单又可快速求出.

利用空间向量解立体几何不是难点，但却是高考重点考查内容，因为计算量大而容易出错，要重视方法的总结与积累，减少运算量，提高运算的准确度.

(作者单位：江西省萍乡中学)