线性代数应该这样学
以下内容选自
冯琦《线性代数导引》
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作者简介：冯琦，男，中国科学院数学与系统科学研究院数学研究所研究员，中国科学院大学教授，美国宾州州立大学理学博士。曾任新加坡国立大学数学系讲师和高级讲师、清华大学数学系教授、新加坡国立大学数学系教授、德国柏林洪堡大学 Mer Cator 客座教授 在关于实数集正则性研究领域同国际著名数学家 Magidor 和 Woodin一道做出过开创性的奠基性的工作；在无穷组合理论方面做出过非常优秀的结果；在大基数和印证原理研究方面做出过一系列非常精彩的工作；在连续统假设的研究工作中同国际著名数学家 Woodin 合作做出过十分复杂的工作；在内模型理论研究领域同国际著名数学家 Jensen 合作构造出一个相当复杂的内模型。
序言
线性代数学入门课程的内容在时间轴上的分布涵盖数千年的人类数学的发展，就算有一道看起来新鲜的习题也几乎一定是重述先人智慧的产物。所以，在这本《导引》之中，不会有属于作者的新发现；作为一本入门教材，这不过是总结别人智慧的产物，尽管在选材和结构上可以有差别。同时，像研究型著作那样去标明每一道命题的原始出处将是困难、耗时且根本没有必要的事情。现代信息时代，任何有心的读者都可以在互联网上一瞬间查获所要的历史渊源。这也就成了作者为自己节省时间免去繁琐的借口，希望读者海涵。《导引》的最后列有基本参考书目，这本《导引》中的命题或者证明或者习题自然分别取自它们。它们是源，这本《导引》是池。作者则是将源中水搅和在一起的机器。既望作者们见谅，也望读者们宽容作者看重的是《导引》中概念演绎的逻辑结构和发展顺序，因为作者愿意相信线性代数学无论是知识还是方法，就其思想而言，终究是有着深刻的典型的承前启后自然发展的关联的。也就是说，线性代数学有着自身天然的知识结构。所以，在将源头之水搅和于池中的时候，作者没有太过注重其出处，只在意它们各自在统一逻辑进程中的关联和结构位置。就影响的轻重多寡而言，柯斯特利金的《代数学引论》自然是重中之重，因为它毕竟是国科大一年级学生的通用教材，而且教学大纲就是以这本教材为蓝本设计的；其次当属许以超的《线性代数与矩阵论》，因为它的第一版毕竟是多年前就带给作者极大影响的一本书；然后当然是席南华的《基础代数》，因为我们都在用各自的理解来解释柯斯特利金的《代数学引论》，能够参考他的书是一种特有的幸运。尽管有着天然的保持独立性的倔强，近朱者赤，受其影响到底是在所难免的。也借此机会表示对许先生和席先生真诚的敬意和谢意，也对柯斯特利金《代数学引论》的翻译者，尤其是张英伯先生，表示敬意和谢意。
最后，请允许我借机表达对我高中时期既在课内又在课外教我线性代数学的超级热心的周典老师特别的敬意和谢意。周典老师是开启我数学思维的启蒙者。请允许我表达对我大学时期教我线性代数和离散数学两门课程的王义和老师的特别的敬意和谢意，王义和老师，亦师亦友，是无意之中引导我从计算机软件专业转向基础数学的导师。
当然，我还要感谢的是科学出版社和李静科编辑。如果没有科学出版社和李编辑的热情支持和细心帮助，这本《导引》未必可以与读者见面。
冯琦
2018年8月
中国科学院数学与系统科学研究
中国科学院大学院
绪论
接下来的两章中，《导引》会分别建立起整数和分数以及实数和复数的确切解释。在第2章里，以自然数范围内的赊账问题为引导，依托自然数结构，应用等价关系和商集概念，实现从自然数到整数的扩展，并建立起整数理论以及同余类数理论；然后再以整数均分问题为引导，再次应用等价关系和商集概念，实现从整数到分数(也就是有理数)之扩展，并建立起有理数有序域理论以及有理数平面有序域理论。由于整数和有理数都有关于数的加法和乘法的运算，在这一章里，《导引》还系统地实现了在逻辑基础部分所引入的抽象的由变元、常元、加法运算和乘法运算迭代复合而成的项的含义的函数解释：整系数多项式函数以及有理系数多项式函数被引进。在这里读者有机会第一次回到逻辑基础部分体会“项”这个词的含义以及“真”“假”这两个相互冲突的名词的内涵。《导引》关注有理数平面有序域是基于素数开方问题。在这里，我们可以有比较满意的对单个问题的解答，但没有统一的解答。这也就为后面的实数和复数的引入完成了铺垫。从自然数到整数乃至同余类数，从整数到有理数，我们所用的工具就是很容易定义出来的自然的等价关系；从有理数域到包含单个素数开方的扩张域，也只需要在有理平面上引进一个合适的但依旧自然的乘法运算；但是，从有理数到实数，这些代数手段已经捉襟见肘。要想一劳永逸地解决全部素数开方问题，这已不是同样适合于离散结构的代数方法可以奏效的任务，因为实数轴与有理数轴最根本的差别就在于实数轴的连续性以及有理数轴的处处间断性。用逻辑学的行话说，这里涉及的是有理数的“二阶”性质，也就是说，有理数的子集合不得不被牵扯进来因此，《导引》以有理数轴序完备化的方式定义实数轴，然后再根据有理数有序域的基本性质在实数集合上定义实数的加法和乘法。这就为实数这一直觉中的概念提供了典范的解释，正是这种实数轴的连续性保证了在正实数范围内一元正整数次幂函数都是双射，也就是说，任何正实数都可以开任意次方；也正是实数轴的这种连续性保证了任何奇次实系数多项式都有零点。自然，实系数多项式的引入为我们提供了再次回访逻辑基础的机会，从实数到复数的历程是代数的，因为解决复数开方这样的问题我们在有理平面上已经见到过，这里所需要的也是在实平面上引进一个合适的、自然的乘法运算。依旧利用实数轴的连续性，我们得以建立代数基本定理：复系数多项式都有零点。在这一章里，利用数组，我们将有机会见识可构造数，也就是那些可以在平面上利用圆规和直尺作图标注出来的数；也还有机会认识四元数。所谓四元数，其实就是四维实数集合笛卡尔乘积空间中的点，或者向量。关键是这个空间上可以配置一个乘法，以至于所有的非零元构成一个非交换的乘法群。为了解决开方问题，我们两次步入平面、有理平面和实平面。在这些平面上，我们定义平面点之间的加法和乘法。这就意味着我们开始远离我们曾经全身心关注的数，因为这里的加法和乘法已经不再单单是数之间的运算。我们开始关注另一类崭新的对象：向量。从数转向向量，是线性代数实现华丽转身的瞬间。而这种转身，是在我们牢靠地建立起数系之后。只有在我们真正深切地明白关于数的解释之后，我们才可以坦然地面对以数组为基本对象的向量，才可以坦然地面对几何中的点以及物理学中的向量。当然，只有在这种转身之后，线性代数学才真正开始自己的探索，因为线性代数学毕竟不是数论。
第7章是纯粹的抽象的线性代数理论。这里我们以公理化的方式引进向量空间。这个时候我们所面临的向量空间是那样一种对象：我们只知道论域所在，只知道空间依赖的抽象的域所在，只知道空间上有一个遵守特定的等式规则的加法运算，只知道空间与基域之间有一种被称之为纯量乘法的关联函数以及这个关联函数遵守特定的等式规则，别无其他。我们甚至都不清楚那个论域中的对象到底是什么，是一堆鹅卵石，还是一堆桌子或椅子；我们同样不清楚那个基域里到底都是什么，是数，还是函数，还是什么莫名其妙的东西；相应地，我们更加不知道所给的加法和纯量乘法到底该怎样计算。原因是这些根本不重要，重要的是所给的运算遵守着那几个等式，这些就是关于加法和纯量乘法的公理。这些等式面对任何具体的挑衅都永保真实。换句话说，随便从论域和基域之中取出一组数据，用那些给定的公理等式来检测，结论总成立。这，便是那些公理的真正含义和用途，这也就是逻辑基础部分所揭示的数学中的真和假的内涵剩下的就是依据这些来展开所需要的分析。在完成线性空间或者向量空间的基本分析之后，我们所关注的是线性空间之间的线性映射-----那些严格遵守线性等式的映射。关于线性映射的核心内容是它们的表示定理，这是一种将不知论域中向量为何物的抽象的线性空间同构地转化到由基域的笛卡儿乘积空间所确定的线性空间上去的系统过程，也就是从抽象回归具体的过程。尽管基域之内为何物也不得而知，但它毕竟和实数域或者复数域或者同余类数域很相近。所以，经过同构，事情就变得具体得多，在所有的线性映射之中，我们尤其关注两类：一类是线性函数从向量空间到基域的线性映射；一类是线性算子从向量空间到自身的线性映射。
第8章探讨定义在线性空间的有限维乘积空间之上的多重线性函数。最经典的例子就是内积函数、交叉函数和行列式函数，我们会仔细探索双线性函数，包括对称的和斜对称的双线性函数。继而探讨一般的多重线性函数，也就是张量。在这里，我们会感受统一理论的美妙，最终，我们能够看到的是线性代数的一切，都是关于加法和乘法这两种算术运算的一系列美妙的提升和复合，因为在张量那里就是只有加法和乘法，只不过它们被有机地以代数运算方式复合在一起
第9章是内积空间。这可以被看成三维实欧几里得空间理论在有限维向量空间范围内的一般化。在任意一个有限维的实向量空间或者复向量空间上配置一个内积函数并以此在向量空间上引进长度和夹角，从而完整地再现当年笛卡儿引进坐标系建立解析几何的基本思想，对内积空间上线性算子的分类是一件完美的事情(也就自然而然地包含着对于方阵的分类)，因而也就是这一章的第二个探索的主题
《导引》的最后一章讨论几何向量空间。这是还原笛卡儿解析几何思想的过程。原本欧几里得几何中并没有任何特殊点存在，有的点都是一样的，无论是用来作为线段的端点，或者一个三角形的定点，还是一个圆的圆心，任何不同的点都可以担负起完全相同的几何功能。可是在坐标空间中，坐标原点就极其不同于其他的点，而在向量空间中原点又是那样的不可缺少。这自然地显现出笛卡儿解析几何与欧几里得几何之间有着差别。如何将线性代数中的向量与几何向量，或者物理学中的向量，统一起来?这便是这一章的引导问题。线性代数学的解答就是在每一个几何点上粘贴同一个线性空间。这样一来，笛卡儿的几何思想就被还原成欧几里得几何思想。其实，不仅仅在这种线性几何，这种粘贴术在其他几何之中也都被发扬光大。这些自然就远远超出这本《导引》所关注的范围。
毫无疑问，有许多线性代数的内容没有在这本《导引》中涉及。因为《导引》的目的只是引导，引导读者进入一个广阔天地，一旦进到那里便是读者自己的自由王国，所以，一切都只是围绕着基础和线性这两条中心线来展开。作者用心于基础无非强调两点：第一，当我们初次真正准备进入数学领域的时候，我们就需要有不仅知其然更得知其所以然的心态；第二，在过去一百年里，集合论的确已经成为当代数学的基础，而线性代数学恰好可以成为说明这一点的一个范例。集合论之所以能够为数学奠定一个统一的基础，数理逻辑发挥着根本性的作用。恰好线性代数学可以作为用来解释数理逻辑最基本的真与假的思想的样本。于是，就有了摆在读者面前的这本《导引》。作者用心于线性无非是因为线性最能有效地担当起作为样本的功能，因为最简单的例子常常体现出深刻的数学思想。只要可能，一定使用最简单的。这不正是科学思想的一条基本原则吗?这本《导引》花了不少篇幅讨论具体的低维向量空间的线性问题。这是因为作者以为这些让人看得见摸得着的具体事物本身其实也饱含抽象的道理。比起浩瀚宇宙万物来，它们或许显得微不足道，但是见微知著是一种真功夫。再说，离开具体的抽象未必算得真抽象；只有从具体事物(来源于现实)到抽象概念和理论(超越现实)，再到更高层次的具体事物(更为复杂的新发现)，继而有进一步的抽象，以此不断推进，才是人类数学思维的正道，才是数学理论既可以超前发展又可以被用来解释现实以及解决当前实际问题的根本原因，才是数学代代传承、生生不息的理由。数学，既是抽象的，更是具体的。
冯琦
中国科学院数学与系统科学研究院