第11讲：《导数的概念与基本性质》内容小结、课件与典型例题与练习
数学从对运动（如天文、航海问题等）的研究中引出了函数的概念，在那以后的二百年里，这个概念在几乎所有的工作中占中心位置，紧接着对运动、变化的研究，产生了微积分。微积分是继欧几里德几何之后，全部数学中的一个最大的创造。正如恩格斯指出的：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”.
微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型的数学模型之一.
微积分学分为微分学与积分学，其中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学.
一、变化率问题
速度为路程关于时间的变化率
加速度为速度关于时间的变化率
曲线切线的斜率为描述曲线的函数的函数值关于自变量的变化率
人口增长率即为变化的人数关于时间的变化率
角速度是转动的角度关于时间的变化率
线密度是线段质量关于长度的变化率
二、导数的几种极限定义描述
三、注意以下两个描述形式的区别与应用：
即先有极限存在，然后才有导数记号；由导数的极限定义判定导数的存在性并求函数在给定点的导数值。
导数值等于极限值；因为导数存在，所以极限存在，从而由导数的存在性，借助极限式变形可以用来求其他极限式的极限。如
四、导数定义应用解题类型
(1) 抽象函数的导数的存在性和导函数的计算，分段函数分界点导数的存在性与导数的计算，一般使用导数的极限定义来判定与计算.
(2) 对于分段点两侧函数表达式不同的分段函数，还需要借助左右导数的极限定义来判定与计算.
(3) 如果一个题目中没有已知导数存在的条件，而需要使用导数的结论，则一般考虑应用导数的定义来判定导数的存在性和应用可导的结论来探索问题的求解思路.
(4) 在已知函数可导的情况下，极限式可以改写为导数定义描述，利用导数的存在性计算极限和判定极限的存在性.
五、区间上的导函数
函数可以在开区间内任意一点可导，通常称函数在闭区间上可导，在闭区间的端点处仅仅是左端点存在右导数，右端点存在左导数.
函数可导，必须左右导数都存在并且相等
六、可导与连续的关系
函数在一点可导，则函数在该点处一定连续；函数在某点处连续，函数在该点不一定可导！即可导必连续，连续不一定可导。
连续函数在定义域可以处处不可导，如魏尔斯特拉斯函数；函数也可以在定义域内仅仅只有一个可导点，如函数
七、函数在一点导数的几何意义与连续函数不可导的几何特征
1、函数在一点导数的几何意义
函数描述的曲线在该点的切线的斜率
2、连续函数不可导点的几何特征
尖点和存在铅直切线的点
【注】尖点是左右导数不相等；存在铅直切线是因为极限值趋于无穷大。
八、几个最熟悉的基本初等函数的导数