面积计算（三十四）
我们来看一些关于面积的杂题。
所谓的杂题，其实就是指一些不常见的类型的题目。这些题目往往能给学生第一时间造成一定冲击——谁都害怕陌生类型，因为缺乏对应的训练，有时候找思路确实比较难。
这些杂题的背景往往是多边形（边数大于5），以偶数边形居多。做杂题最大的好处就是能帮助孩子克服畏难情绪，同时加深对基本功的理解。有些矩形、正方形里的难题隐蔽性比较强，一时半会发现不了它的难度，但是杂题一眼望去就会觉得不好做。
当然，我们也需要补充一些基础知识，首先我们来看关于正六边形中一些有用的结论。
已知：ABCDEF是正六边形，我们有以下结论：
AB∥CF；
FC=2AB;
△ABC的面积等于正六边形面积的1/6；
△AFC的面积等于正六边形面积的1/3；
梯形ABCF的面积等于正六边形面积的一半。
结论1的严格证明对小学生来说肯定是要求过高了，我们可以把梯形ABCF中的FC取中点O（正六边形的中心），连OA，OB，很容易看出梯形ABCF被分成了三个全等的正三角形，所以FC=2AB，其余三条性质也很显然。
这几条正六边形中常用的性质需要牢记，因为经常会用到。
接着我们就来看一些具体的例子。
例：已知正六边形的面积为720，求图中两块阴影部分的面积差是多少？
正六边形的边长如果是整数的话，那么面积是要带根号3的。现在面积是整数，所以你想通过求边长硬做的办法对小学生来说是行不通的。
所以接下来比较自然的想法就是等积变换了。对于正多边形来说，穿过其中心的对角线是非常重要的，因为这条对角线就是正多边形的对称轴。所以我的第一想法就是连一条这样的对角线FC看看。因为图中已经有了这样一条对角线AC，所以这两条对角线的交点就是正六边形的中心。
我们发现，大的阴影部分图形被截成了两块，下方的这块三角形的底恰好最长的对角线长度的一半，不难看出面积是整个正六边形的1/6，而剩下那块阴影部分和最上面的阴影部分显然是全等的，所以答案就是120。
但是对小学生来说，这个全等并不像之前我们把正方形分解成四个全等的直角三角形那么显而易见，所以答案虽然有了，这个过程却并不是那么友好。
所以我们还得找一个小学生看起来能觉得神清气爽的解法才行。
如果我们能联想到正六边形中面积的常用结论，这个题目的思路就很好找了。我们注意到这两块阴影部分和常用结论并没有直接的联系，所以不能分别直接表示成正六边形面积的几分之几然后相减，但是，如果我们再拼上一块就会发现，要我们求的面积差恰好就是△BCE和△ABC的面积差，即1/3-1/6=1/6，所以阴影部分的面积差就是720×1/6=120。
平时的积累很重要，系统的讲解和这种小结论的积累，缺一不可。
我们再来看一个例子。
如图，正六边形ABCDEF中，H是DE的中点，△ABG，四边形BHEG，四边形BCDH的面积成等差数列，求EG：GF。
等差数列，是指任意一项减去前一项的差是定值的数列。换句话说：等差数列中任意连续的三项，首尾的和等于中间项的2倍。
所以很自然的想法就是：我们能否把这三块图形的面积都表示出来，然后列个方程解一下？
如果我们直接设EG：GF=x，我们发现，对于小学生来说，要求FG：FE以及GE：EF这还是有一定困难的，如果涉及到其他的运算，分式还是难驾驭的。
由于最后求的是比值，所以我们完全可以设六边形的边长为1，这样设FG=x，GE=1-x，最后求出x然后再求EG：FG就很容易了，这就是设的合理性。
我们不能说设EG：GF=x是错的，只是说不够合理，可能会给后面的计算带来麻烦——原因就在于带字母的比值的运算对小学生来说有困难。
接下来就是计算面积的时候了。△ABG的面积如何表示？似乎无法用x直接表示出来，四边形BEGH呢？也不是个正规图形啊！四边形BCDH呢？
这题甭做了。
千万不要打退堂鼓。事实上，这三块图形里，最容易计算面积的应该是哪块？
当然是BCDH！为什么？因为H点的位置是已知的，中点！中点意味着什么？一半！
所以我们首先应该考虑以这个为切入点。像这样不规则的四边形，前面已经多次提到，要么就是大减小，要么就是连对角线。
由于是正六边形，所以连接BD以后，△BCD的面积是六边形面积的1/6，而BCDE的面积是六边形面积的一半，所以△BDE的面积是六边形面积的1/3，推出三角形BDH和△BHE的面积相等，都是整个六边形面积的1/6，所以BCDH的面积占整个面积的1/3。
此时我们发现，四边形BHEG很自然地被分成了两块：△BHE和△BGE，我们只需要求出△BGE的面积即可。而△BGE和△BEF的面积比为1-x，所以△BGE和正六边形的面积比为(1-x)/3，我们得到四边形BGEH和正六边形的面积比为：1/6+(1-x)/3。
最后来看△ABG的面积。由于梯形AFEB的面积是正六边形的一半，而且△GBE的面积已经算出来了，所以我们只要计算△AFG的面积，然后再用大减小的办法就可以得到△ABG的面积了。
注意到FG：FE=x，所以△AFG和△AFE的面积比就是x，于是△AFG的面积占正六边形面积的x/6，据此可得△BAG和正六边形的面积比为1/2 -(1-x)/3 - x/6 =1/6 + x/6。
我们可以列出方程：1/6 + x/6 +1/3= 2×[1/6+(1-x)/3]，解得x=3/5，于是EG：GF=2/3。
像这种题综合程度很高。虽然等差数列在这里看起来是很简单的条件，但是如何把等差数列转化成数学的语言，这还是需要对基本概念了解的非常清楚的。同时，本题对于正六边形中常见部分的分割，方程的应用都有很高的要求，分开来看其实都还好，但是把这些因素都揉在一个题里，没有扎实的基本功是很难做好的。像这样的训练可以帮助孩子以后在中学阶段面对综合题不怯场，所以我常说：一个难题吃透了，赛过简单的重复训练二十题。