杨乐张广厚：怎样学好数学

张广厚与杨乐在一起探讨问题

大师简介

杨乐，著名数学家，中国科学院院士，中国科学院数学与系统科学研究院研究员、博士生导师。

1939年11月10日出生于江苏南通。1956年考入北京大学数学系学习，在大学里他是一位品学兼优的学生。1962年北大毕业后又考取了中国科学院数学研究所研究生，在我国著名老数学家熊庆来先生指导下，进一步深造。1966年中国科学院数学研究所研究生毕业后留所工作，先后担任副研究员、研究员、副所长；1980年当选为中国科学院学部委员(院士)；1987年出任中国科学院数学研究所所长；1996年与数学家丘成桐教授共同创建中国科学院晨兴数学中心，并出任学术委员会副主任；1997年获得华罗庚数学奖和陈嘉庚数理科学奖；1998年12月中国科学院数学与系统科学研究院成立，杨乐出任首任院长。

1979年加入中国共产党。曾任中国数学会秘书长、理事长，全国政协委员，全国青联副主席，为推动中国数学发展、赶超世界先进水平做出了重大贡献。他在数学研究中取得的重大成就和对中国数学发展做出的重大贡献，得到了国内外同行的高度评价。

杨乐主要从事复分析研究，特别是整函数与亚纯函数的值分布理论方面有系统的、深入的研究。

杨乐和张广厚同志，既是大学里的同学，又是研究所里的好友。他们研究的主要方向都是函数论中的整函数、亚纯函数的值分布理论。在他们的共同努力下，终于在七十年代中期取得了突破性的成就，获得了系统的具有世界水平的数学成果，在我国学术界产生了积极的影响。在1965年至1977年，杨乐和张广厚共同发表了八篇重要论文：《解析函数族的正规性涉及重值的研究》、《关于亚纯函数的波莱耳方向的分布》、《亚纯函数亏值总数和波莱耳方向总数的研究》、《关于整函数的亏值总数》、《整函数的波莱耳方向的分布》、《具有给定奇异方向的亚纯函数的构造》、《一类极值整函数的亏值》、《整函数的亏值与渐近值》等，这许多创造性的成果，开辟了一个新的研究方向。国外数学家把他们的研究成果称为“杨-张定理”、“杨-张不等式”。1978年他们合作的《整函数和亚纯函数的值分布理论》获得了全国科学大会奖励，1982年又获得我国自然科学二等奖。

杨乐院士在作报告

同学们，你们在学校里数学学得怎样？你们知道为什么要学数学吗？现在我们就从这个问题谈起。

在自然界里，在生产实践中,存在着大量的数字和图形，数学就是研究数量关系和空间形式的一门科学。各门科学和工程技术，都用得上数学，例如怎么安排生产才能多快好省地完成任务，这个问题就可以用数学方法来帮助解决。所技术的飞速发展以及电子计算机的出现，各方面对数学提出的要求就越来越多。同学们在中学里也可以体会到数学是一门重要课程，是学习其他课程，如物理、化学等所不可缺少的。下面我们就对怎样学好数学，提出几点意见。

第一，我们热忱希望同学们从中学开始，就树立远大的理想，为革命勤奋学习。有了正确的学习目的和态度，才能够刻苦钻研，努力克服学习中的困难。

有的同学在学习中遇到了困难，常常爱说：“我的脑子不学习的好坏并不在于脑子灵或不灵，而是决定于是否下了足够的功夫，是否付出了大量的、艰巨的劳动。

费多大气力，便能轻而易举地学好数学。这种想法也不对。数学和其他自然科学一样，都是老老实实的学问。在学习数学的前进道路上，没有任何捷径可走，更不能投机取巧。只有勤奋地学习，持之以恒，才会得到优秀的成绩。

第二，努力学习最基本的东西，练好基本功。同学们要多下些功夫，把最基本的东西学深学透，并且要十分熟练，将来不论进一步学习或者参加工作，能够非常自如地运用它们。

在中学数学里，代数是最基本的，平面几何也很重要。代数和算术的最大区别，是前者引进了文字来进行运算。我们要掌握这个特点，善于从个别到一般，从具体到抽象，使认识不断深化。例如，同学们不仅要会解数字系数的代数方程，如2x^² 5x-3=0；而且要会解文字系数的方程，如ax^² bx c=0。从前者到后者，就是这样一个认识深化的过程。

杨乐院士与参赛学生合影

在学习中，要把基本概念弄清楚。例如在代数中，什么叫恒等式，什么叫方程式，它们之间有何区别，什么叫方程的元、次数和根；在平面几何中，给了一个命题，什么是已知的条件，什么是要证明的结论；这些首先要搞得清清楚楚。具体演算要准确，数值、符号不能有任何差错。每一步推理要论据充足，十分严谨，决不能马马虎虎。

代数中因式分解十分重要，对于学习其他部分有较大作用。一些基本公式，例如a^²-b^²=(a b)(a-b),不仅要从右边出发，用乘法来验证它，更重要的是必须从左边出发，经过因式分解，得到公式。对于其他的公式，也必须这样做。还要多加运用，不能只限于简单地代公式，而是要适应种种变化的情况，灵活地加以运用。这样才能真正掌握这些公式。

数学的每一部分往往有一些关键，要特别留意。例如解一元一次方程的关键，是移项；解二元一次联立方程组的关键，是消元。这些都比较容易理解。解一元二次方程的关键，是配方。在方程ax^² bx c=0中，如果b=0,就可以化为:

ax^²-(-c)=0

即

a[x^²-(-c/a)]=0

应用平方差的公式，可以分解为

由此便能求出方程的两个根。一般的一元二次方程，如果能够消去它的一次项，就可以化为上面的形式。事实上，对于方程

ax² bx c=0

可以化为

即：

如果设

则上述方程即为

在这个方程中，一次项消失了，从而成为我们可以解决的类型。所以这种所谓配方的办法，实际上就是消去一次项的过程。经过一番分析和思考以后，理解加深了，分析问题和解决问题的能力也提高了一步。

第三，要注意培养独立思考、刻苦钻研的精神。

数学是一门着重于理解的学科，在学习中要防止死记硬背、不求甚解的倾向，一定要勤分析，多思考。对一个问题要从正面、反面、各个角度多想想，要善于找出它们之间的联系，总结出规律性的东西。

除了听老师在课堂中讲的以外，还要自己动手，认真演算，多做练习。演算和练习是非常重要的，不这样做就不能把书本上写的和老师讲的知识，真正化为自己的知识。除了基本练习，还要做一些具有一定难度的、需要经过一番思考才做得出来的题目。做出一道较难的题目之后还要回想一下：这道题的难点和关键在哪里？应该从什么地方入手？还题和解决问题的能力。

在学习中要注意循序前进。要一步一个脚印，由易到难，扎扎实实地学。不注重基本训练，一味钻偏题、难题、钻牛角尖，是十分有害的，要注意防止。

最后还希望同学们尊重老师的劳动，认真向老师学习。在这方面我们有些切身的体会。中学时期，很多老师对我们进行过教育和帮助，至今仍然记忆犹新。在大学和研究所学习期间，我国老一辈的数学家熊庆来先生和庄圻泰先生，长期对我们进行指导和帮助，使我们打下比较坚实的基础，能够在科研工作中避免了走一些弯路。我们现在做出了一些研究成果，这中间也凝聚着他们的辛劳和心血。

党中央对教育工作十分重视，对广大青少年寄予了深切的希望。我们深信在毛主席光辉的教育方针指引下，在党中央的英明领导下，教育战线必将和其他战线一样，取得辉煌的成绩，为实现四个现代化源源不断地输送又红又专的人才。

预祝同学们取得新的成绩和更大的进步！

来源：《数学家谈怎样学数学》黑龙江教育出版社（1986年09月第1版）华罗庚等著