培养学生数学探究能力的尝试

徐高挺

高考考纲明确指出：对数学能力的考查，以逻辑思维能力为核心，全面考查各种能力，强调考题必须具有探究性、综合性、应用性。因而数学探究能力的培养有着十分重要的意义。下面，我谈谈自己的一些做法。

一、应用生活实例培养探究能力

在探究能力的培养过程中，有一个十分棘手的问题，那就是面对与生活实际相关的数学问题时，因为缺乏生活经历和解决问题的经验，相当一部分学生觉得无从下手，如何打破这一僵局呢？我的做法是让学生深入生活，在生活中培养他们的探究能力。

有这样一道题：国际足联规定法国世界杯决赛阶段，比赛场地长 105米，宽68米，足球门宽7.32米，高2.24米，试确定边锋最佳射门位置（精确到1米）。

面对陌生的问题情境，大多数学生都束手无策。我为他们设计了以下几个探究方向：

1、到球场实地去观察一下，边锋在球场上如何运动，一般在何处起脚射门？

2、向踢球经验丰富的同学请教足球的有关知识；

3、到图书馆查阅有关材料；

4、认真思考本题所谓的最佳射门位置在数学上的具体含义；

5、在此基础上考虑如何利用数学方法来解决这一问题。

让学生到实际生活中去，在生活中发现数学，学会解决生活中的数学是提高学生探究兴趣、培养学生探究能力的有效途径，生活是探究的不竭源泉。

二、应用课堂教学培养探究能力

探究能力是各种能力中的较高层次，它要求学生会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括，并能准确、清晰、有条理地进行表述。因而探究能力的培养不是一朝一夕可以完成的，所以应该把探究能力的培养贯穿于数学教学的全过程。如何培养呢，我认为应该在课堂教学中充分暴露思维过程，充分调动学生的探究欲望。下面以一道例题的教学为例，说说我在教学中的做法。

这是一道有相当难度的应用题：用总长 14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面一边比另一边长0.5m，那么高为多少的时候，容器的容积最大？并求它的最大容积。

1、问题初探

大多数学生对问题作如下解答：

设底面较短的一边长为 x米，容器的容积为V，则有

V＝x（x＋0.5）（3.2－2x），x∈（0，1.6）。

而后利用均值不等式求其最值，却发现均值不等式的使用条件并不满足。

2、问题再探

师生共同分析，均值不等式在本题无法直接使用的原因 x≠x＋0。5。那么能否避开这个问题呢？

甲学生（经过一番思考）：

V＝x（x＋0。5）（3.2－2x）＝x(2x＋1)(8－5x)5＝3x(2x＋1)(8－5x)15。

从而当 3x＝2x＋1＝8－5x,即x＝1时V取得最大值。

此时，全班学生大为振奋，认为是一种很了不得的做法。

师：首先应该表扬这位同学，但是请你回答这个问题：

从 x(2x＋1)(8－5x)5＝3x(2x＋1)(8－5x)15，你是怎样分析得知分子分母应同乘以3，请你向同学们传授传授。

甲同学（愣了一下，想不出解释这个问题的方法）：，我承认自己只是灵机一动，纯属巧合。

师：他虽然只是灵机一动，但这种做法值得赞许，有没有同学能对这种做法给出合理的解释？

乙学生：这不是巧合，其实我们只需从 2x＋1＝8－5x求得x＝1，而此时2x＋1＝8－5x＝3，要让V取得最大值，当然只需对x乘以3。

以上的发现让学生们兴奋不已，但就在这时，丙同学提出疑问。

丙同学：若是如此，我们在求 V＝x(x＋0.5)(3.2－2x)的最值中直接仿照以上做法岂不更加简单？

3、问题三探

师：丙同学的想法很有自己的见解，但到底可不可行呢？请大家动手试一下。

探讨的结果如下：

由 x＋0.5＝3.2－2x。

得 x＝0.9。

x＋0.5＝3。2－2x＝1.4。

∴ V＝［149x(x＋0.5)(3.2－2x)］×914。

由此求得的结果与甲同学不一致。这样，更增加了本题的神秘色彩。

4、教师点拨

这时候，考虑到往下的探索已非学生可以独立完成。我给予以下点拨：

在 V＝x(x＋0.5)(3.2－2x)基础上不能直接利用均值不等式进行求解的原因是什么？（答：无法寻求这样的x，使得x＝x＋0.5）

甲同学能够利用均值不等式求解最值的原因又是什么？（答：他巧秒地利用了式子的变形）

他的变形主要是对 x，x＋0.5，3.2－2x配上了系数，那么我们是否可以用通法求得这些系数呢？

经过一番思考，同学们总结出待定系数法是解决这一问题的通法。

我认为上述的做法，有助于引导学生对问题进行由表及内、由浅入深的探讨，对提高学生的数学探究能力有着十分重要的作用。

三、应用论文写作培养探究能力

学生论文的写作过程是学生自我学习、自我提高的过程。认知水平较高的学生，在学习中往往会对自己感兴趣的问题进行探究，并形成自己的认识，但一般不够深入，鼓励他们及时归纳总结并形成文字，这个过程就是他们对问题进行深入再探讨的过程，他们必须经过认真观察、阅读相关材料、比较分析、演绎归纳等步骤才能进一步论证自己的论点。而把这些材料形成文字又能使他们表达能力得到很好的锻炼。所以学生论文写作对于提高学生的探究能力有着十分重要的作用。

要让学生学习写作论文，就应该强调对材料的积累。它可以来源于课堂，也可以是课外学习的心得感想。在学完了等差数列与等比数列的性质之后，我班有一位同学提出了这样的命题：

1、设｛ a n ｝是等差数列， m，p，n∈N，若 m 1 ＋ m 2 ＋ …m n ＝ p 1 ＋ p 2 ＋ …p n ，则 am 1 ＋ am 2 ＋ … ＋ am n ＝ap 1 ＋ ap 2 ＋ …ap n 。

2、设｛a n ｝是等比数列，m，p，n∈N，若 m 1 ＋ m 2 ＋ …m n ＝ p 1 ＋ p 2 ＋ … ＋ p n ，则 am 1 ＋ am 2 ＋ …am n ＝ ap 1 ＋ ap 2 ＋ …ap n 。

这位同学把这两个命题交给我，让我给他论证命题的真假。我让他自己先举出具体例子进行验证，而后考虑如何从理论上对这两个命题进行证明，如果必要可以查阅相关的课外参考书。最后这位同学完成了对命题的严格证明，同时给出了它们在解题中的应用。这篇文章在校级教研刊物发表以后，对全体学生都产生了极大的影响。