第23讲 最大公约数与最小公倍数-答案精讲

初中奥数精讲——第23讲 最大公约数与最小公倍数-答案精讲

本讲适用于初一、初二、初三,因为我们的奥数讲解主要带着学生学习有深度、新颖、竞赛性的奥数知识和题目,所以只要有课堂上基本的知识储备,都可以一起来学习,相信对你的奥数、数学思维,解题思路都大有裨益。

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一、知识点解析

1. 公约数与最大公约数

整数a和b公有的约数,叫做a和b的公约数。公约数中最大的一个叫做最大公约数,记作d=(a,b).

类似地,若a1,a2,…,an是不全为零的整数,则它们的最大公约数记作

d=(a1, a2, …,an)。特别地,如果(a1, a2, …,an)=1,则称a1,a2,…,an是互质的数,简称互质或互素。注意互质的数和质数、两两互质的数这三个概念的区别。互质的数不一定是质数,也不一定是两两互质的数,但n个质数一定是互质的数,且是两两互质的数。

2. 公倍数和最小公倍数

整数a和b公有的倍数,叫做a和b的公倍数。其中最小的公倍数记作

[a,b]=m.

类似地,若a1,a2,…,an均是正整数,则它们的最小公倍数记作[a1,a2,…,an]=m.

注意符号(a,b)和[a,b]是用式子表示的一个数。

3. 最大公约数和最小公倍数的性质

(1)若a,b是正整数,(a,b)和[a,b]分别表示它们的最大公约数和最小公倍数,则有(a,b) [a,b]=ab.

(2)若a,b是正整数,且(a,b)=d, [a,b]=m,则(ka,kb)=kd,[ka,kb]=km.

(3)若a,b是自然数,且a-b>0,那么(a,b)=(a±b,b).

4. 求最大公约数和最小公倍数的方法

(1)将每个数分解成质因数的乘积,这些数中相同因数的最低次幂的积就是这些数的最大公约数。

(2)若有两个整数a,b (a≥b),用b去除a,若不能整除,得余数r1,再用r1去除b,如仍不能整除,得余数r2,再用r2去除r1.。。。直到余数等于零为止,最后一个不为零的余数就是所求的a,b的最大公约数。这种方法叫辗转相除法,又叫欧几里得算法。

(3)将每个数分解成质因数的乘积,这些数中各质因数的最高次幂的乘积就是这些数的最小公倍数。

这部分主要考察学生的对最大公约数和最小公倍数的了解及掌握,这部分属于数论部分的综合知识,这部分需要对代数、因式分解有足够的知识了解,题型变化多,要夯实基础,才能保证在最大公约数和最小公倍数的学习上赶超别人,让我们在例题和解答中一起学习吧。

二、例题

例1

求48、60和72的最大公约数和最小公倍数。

解答:

例2

求5767和4453的最大公约数和最小公倍数。

解答:

例3 (“希望杯”初一数学竞赛试题)

23个不同的正整数的和是4845,问这23个数的最大公约数可能达到的最大值是多少?

解答:

例4

某自然数与24的最大公约数为4,与24的最小公倍数为168,求此数。

解答:

例5

已知两数和是60,它们的最大公约数与最小公倍数之和是84,求这两个数。

解答:

例6

设r是最小的10个不同质数之积而ai=1+ir(i=1,2,…,10)。证明:a1, a2,…,a10两两互质。

解答:

例7

设n是满足下列条件的最小正整数,它是75的倍数且恰有75个正整数因子(包括1和本身),求n/75.

解答:

例8 (北京市初一竞赛题)

张华、李亮、王民三位同学分别发出新年贺卡x、y、z张。如果已知x、y、z的最小公倍数为60,x和y的最大公约数为4,y和z的最大公约数为3。那么张华发出的新年贺卡是多少张?

解答:

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