12. 梳枝强干、分分合合——包罗万象 2

三、均值不等式+余弦定理求面积、边的和或角余弦值的最值

【解题反思 1】得到一边及其对角,求面积的最值,可以把余弦定理得到边平方和与边乘积的关系,利用均值不等式进行转化即可。

【解题反思 2】到定线段张角为定值的点的轨迹为圆的部分,熟知各种基本运动产生的轨迹,使得求最值变得容易。

【解题反思 2】求范围,从运动变化的角度去考查,首先要分析题目中那些元素是固定的,那些变化的,变量之间有关系没有,变化遵循什么样的规律。

【解题反思】到两定点距离之比是常数的点的轨迹为圆心在两点连线所在直线的圆,这是阿波罗尼斯圆。

五、直观感知和用最朴素的思想去猜想

【解题反思 1】抓住变化中的不变性,即变化所具有的性质,这常常是破题的关键;

【解题反思 2】特殊化,数据化,使得计算变得更为容易,容易发现周长为定值,在三角形周长一定的情况下,正三角形面积最大,由此猜想在周长一定的情况下,三角形边长越接近,面积越大。(周长一定,所围成的四边形中,正方形面积最大,周长一定,围成三角形面积中,等边三角形面积最大,借此猜想:周长一定,边长越接近,面积越大。)利用最朴素的去猜想,培养直观想象能力。

法二:(面积公式+构建函数)

【解题反思】题目中 a 也提示我们,轨迹与椭圆有关,在空间中,其轨迹为椭球面。对棱垂直的三棱锥体积常常选择构造垂直于棱的面,求其最值。

------------------------------------