由教育部考试中心主办的《中国考试》在 2017 年第 11期第 10-16 页刊载了一篇文章《高中数学核心测评案例研究》中提高:数学核心素养在教学和评价中的实施就显得尤为重要与迫切。另外,从高中数学教学的实践来看,评价尤其是高考对中学教学有着重要的影响,因此,学业水平考试与高考命题关系到核心素养的落地与实施。《标准》将每个核心素养都分成了 3 个水平,并且通过具体的题目告诉学生达到什么要求就对应着那个水平。每一个数学核心素养水平都通过以下 4 个方面进行描述:情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思……(《全国卷高考数学分析及应对》全文转载)理解这些指导思想,对于高考来说,太重要了,在《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》中,从核心素养对 2019 高考题做了比较全面的分析和思考。2020 全国 3 卷理科数学第 21 题,很多学生感觉到试题不难,花了很多时间精力做了很多导数的题目,但就是做得不好。在 2020 年 7 月 7 日《中国考试》的“2020 年高考数学全国卷试题评析”中第 2 条“突出理性思维,考查关键能力”第 4 点“数学语言表达能力的考查”指出“全国 3卷理科第 21 题对数学表达能力的逻辑性和条理性提出了较高要求。”指向了逻辑推理这个核心素养。这个题的考查确实可以实现:学生只通过刷题,确实达不到预期,必须沉下心来,研究核心素养。六个核心素养相互渗透,史宁中提出高中数学培养目标(三会):会用数学的眼光观察世界(数学抽象),会用数学的思维思考世界(逻辑推理),会用数学的语言表达世界(数学模型)。章建跃指出:运算是“童子功”,推理是“命根子”。数学是看出来,无论是解题还是研究,直观想象引领思维过程。我们首先谈谈数学运算这个核心素养。不同的大咖有不同的表述,《高中数学核心测评案例研究》中这样描述:“数学运算”虽然是传统的数学三大能力之一,但作为数学核心素养的数学运算不仅要考查学生的运算基本功,更重要的是考查学生有效借助运算方法解决实际问题的能力。通过运算促进数学思维发展,形成程序化思考问题的数学思维品质。其具体表现包括:理解运算对象、掌握运算方法、探究运算思路、形成程序化思维。从应考来说,我们分析还可以增加直观感知、估算;模型和结论;运算策略等等。
【分析】如果学生从几何角度,就会去找区域和直线的交集;如果从代数的角度理解,会从不等式和方程的解去限定范围。
四、形成程序化的思维
吴文俊说:“数学的每一个发展都是人脑机械化。”他的机器证明就力求使得数学的研究变为程序化的操作步骤,微积分也是如此。如果把运算看成是解决问题的方法,在每一种方法的背后都有着最朴素、最深刻的思想,每一种方法都是思想的一种具体表现形式,比如换元法背后有整体的思想,解析法是用代数方法解决几何问题这一思想的体现。同样,在计算的过程中也蕴含了重要的思想,比如解析法会自然有方程的思想,数列中基本量的求解有方程的思想,方程的求解中有消元的思想等等。所以运算不仅仅是求解的工具,也可以视为思维的工具,甚至运算可以把思维的过程转化为计算的程序化操作过程。
第二步:求面积
法一:底乘高(略);
法二:水平宽乘以铅垂高:
法三:割补法:
五、直观感知、估算
在波利亚解题的第四步“检查已经得到的解答”即“回顾”中强调“你能一眼看出它来吗?”。希望我们跳出形式化的推理和计算过程,从整体去把握和感觉。其实很多时候,跳出“计算”和“推理”,反而能更好地理解事物的本质。比如在人教A 版选修 2—3 的离散随机变量中,我们很容易推导服从两点分布的随机变量 X 的期望和方差 E(X ) = p , D(X) = p (1 - p) ,而对于一般学生,推导服从二项分布的随机变量 X 的期望E(X) = np , D(X) = np(1 - p) ,却有一定的难度,但我们可以引导学生从二项分布与两点分布的定义去思考,二点分布是做了一次实验,成功的平均次数为 p ,而二项分布是做了 n 次实验,成功的平均次数自然为 np ,让学生直接感受,进行合理的猜想,这样这有利于学生把握事物之间的关系,有利于理解事物的本质,有助于培养学生良好的数学感觉。
【分析】标准差反映一个数据集的离散程度。数据呈现也有结构,不同的结构不同的处理方式。此题数据具有对称性,且直接看出均值为 2.5,A 中数据集中在 2.5 附近的最多。此题和第一份课表卷的 11 题完全一致。
追溯 2:(2019 全国 2 卷文理第 13 题)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了 100 个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表.
1)分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例;
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到 0.01)
【点评】一个随机变量如果是众多的,互补干扰的,不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布,长度测量误差、(同一地区同龄人群)身高、体重、肺活量;一定条件下生长的小麦株高、穗长、单位面积产量;正常生产条件下各种产品的质量指标等等都服从正态分布。所以正态分布常常用于产品的质量检测,正态分布数据有一定的对称性,基于此,《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》和《统计概率的系统性解读》,告诉我们注意到数据大致呈正态分布,可以直接看出均值为 0.3 。这在 2014 年文科也是如此,在 2019 年的考前也改编得到了和全国卷命题思路一样的变式 2.
变式 1:(2014 全国 1 文)从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表:
(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95的产品至少要占全部产品的 80%”的规定?
变式 2:某企业有甲乙两个分厂生产某种产品,按规定该产品的某项质量指标值落在 [35 , 65 )的为优质品,从两个分厂生产的产品中随机抽取 500 件,测量这些产品的该项质量指标值,结果如下表:
(I) 根据以上统计数据完成下面 2 x 2 列联表,并回答是否有 99%的把握认为:“两个分厂生产的产品的质量有差异”?
(II)求优质品率较低的分厂的 500 件产品质量指标值的样本平均数 x (同一组数据用该区间的中点值作代表)
(III)经计算,甲分厂的 500 件产品质量指标值的样本方差
= 162 ,乙分厂的 500 件质量指标值的样本方差
= 142 ,可认为优质品率较低的分厂的产品质量指标值 X 服从正态分布
,其中
近似为样本平均数
近似为样本方差
,由优质品率较低的厂的抽样数据,能够认为该分厂生产的产品的产品中,质量指标值不低于 62.73 的产品至少占全部产品的 18%?
六、几何模型和结论
几何结构蕴含着几何中一定的位置关系和相应的数量关系,一定的几何结构有相应的处理方式。这可以视为几何中的模型,在问题解决中,一旦辨识出几何模型,就发现了相应的关系和找到处理问题的方式,使得问题得到高效地解决。分离出、转化为一些基本的几何模型也是解决几何问题基本方法。
【点评】《解析几何的系统性突破》给出了很多结论,秒杀大部分全国卷解析几何题目,《解析几何的高观点、新视野》告诉我们:我们习惯了程序化的运算,寻思几何分析进行优化,却常常忽略模型与结论。
七、重要的运算模型
心理学家德格鲁特对国际象棋大师和新手的研究得出了大师和新手的主要区别在于他们知觉棋盘的模式不同,专家思考的基本单元要比新手大得多。这启发我们在实际的运算中提炼出经常用到的重要模型,来简化运算的过程。比如初中要掌握好a + b , a - b , ab ,
之间的关系,在向量分解中,三角形法则是用得最多、最基本的,右图这样的结构是经常遇到的,若
,则
，在学生熟在学生熟悉了三角形法则之后,可以把它作为学生思考的基本单元,更快捷有效的分解向量。
极化恒等式:
两个几何意义明显的量相乘之后,变成了数,投影和极化恒等式意义在于帮助我们找回了几何意义,使得运算更加直观,有助于从“形”上来思考。几何意义 1:在以 a,b 为邻边的平行四边形中, a,b 数量积为“和对角线”与“差对角线”的平方差;
八、运算策略
(一)特殊化
【点评】“能力立意,多考能力,少考算”这是高考的命题的基本原则,在全国卷体现得更明显,数字设计基本都是是一些勾股数和便于计算的数字,记住这些,可以直接秒杀。节选自《新课标新高考数学习题精粹必修 4》(已售罄)。
九、结语
教学的实际情况是,很多学生在考试分数上的差距,并不是能力上的差距,而就是计算上失误多少,各个学科的失误加在一起,可以相差几十分,初中一些有经验的老师说学生的差距就从有理数的运算真正开始了,小学的速算法是非常的吃香。那如何突破运算能力,在《全国卷高考数学分析及应对》用 3 节专门来研究数学运算能力,《解析几何高观点、新视野》用 22 小节全面突破解析几何的运算。------------------------------------
