2. “解析法”的再思考

摘自《解析几何高观点、新视野》

一、探究代数方法处理基本问题的基本思路

例 1.（教材习题）已知

的顶点 A(5, 1) ， AB 边上的中线 CM 所在直线方程为2x-y-5=0 , AC 边上的高 BH 所在直线的方程为x-2y-5=0 .求：

（1）顶点 C 的坐标；（2）直线 BC 的方程.

【小结 1】求点的两种方式：视为两直线的交点，联立方程；设出点的坐标，由点在直线上构建两个方程.

【小结 2】求直线的两种方式：有垂直、平行和夹角确定一点及斜率；有中点、平分找两点.

【点评】从基础题目中寻求处理基本问题的一般思路。

二、解析化途径的研究、探索和选择

【理解 1】此题为我们展示了如何尺规作图作抛物线的切线，从图形结构看，MO 与 MH 都是抛物线的切线，这就是切点弦三角形，即著名的“阿基米德三角形”。根据极点极线的知识，可以非常容易得到逆命题、推广到其它圆锥曲线。但学生最重要的还是要体会全国卷的考查思路，理解解析几何思想的精髓。

【理解 2】在解解析几何题目，学生常常是不用思考，上来就来“联立方程，韦达定理”，此题虽简单，却打破这个套路，需要学生研究和探索思路。

【理解 3】此题也可以选择设出直线 OH 的方程 y=kx ，联立直线 OH 和抛物线得到 H 点坐标，联立直线 OH 和直线 l 得到 N 点坐标，再利用 M,N 的中点在抛物线上找到 k , t 的关系，进而得到 H,N 纵坐标的关系。相比较之下，还是分析中的方法更简单，即对“解析化”的途径进行合理地选择，这也正是对数学运算这个核心素养的精彩体现。

三、高等背景下探寻基本结论+解析几何的基本套路

【点评】考试中心直接告诉我们：这个命题背景就是高等几何中极点极线的一个结论，对老师来说，理解射影几何，理解开普勒对圆锥曲线的统一性的认识，可以很容易探究出很多新的命题，解析几何题目常常就是对某个命题的具体化，但就针对高考而言，只需解析几何的基本套路即可。如果能借助极点极线等高等几何知识，探究出一些关于几何中重要元素的基本结论，这些结论往往还具有一致性，在解题之前，就知道答案，这也具有一定的价值。

四、重视焦半径公式和圆锥曲线第二定义

【考试中心说明】第（1）问考查考生对几何中的“变与不变”的认知和转化，充分考查考生的解析几何素养；第（2）问重点考查考生思维的灵活性和综合应用知识解决问题的能力。对考生的逻辑推理能力、运算求解能力有较高要求。若考生有较好的代数化简求值功底和划归与转化能力，求解时不会有复杂的计算。试题重基础、重能力，对引领数学课程改革能起到正确的导向作用。

【理解 1】从参考答案来看，2019 全国 2 卷第 21 题解析几何题目第（3）问对运算提出了非常高的要求，可以视为延续了此题对数学运算这个核心素养非常高的要求。

【理解 2】此题的解答过程实际上是推导了焦半径公式。焦点之于圆锥曲线如圆心之于圆，在开普勒看来，通过焦点的运动实现了圆和圆锥曲线的统一。所以围绕焦点，有很多结论，与焦点有关的弦长和面积等都是全国卷反复考查的内容，这些题目就是结论的具体化，或者综合其它一些知识，借助相关结论，直接秒杀或者把思维直接向前推进了一步。

五、解析几何性质——结论的整合和应用