抛物线3——圆锥曲线讲义之十四
上节讲解了抛物线割线的一些常见性质，讲到了抛物线切线及两条切线的交点的性质。
本节百尺竿头更进一步，引入抛物线焦点，继续进一步讲解与抛物线一条切线有关的性质及其光学性质。解析几何既然是几何，当然很多问题需要用一点平面几何知识。但是鉴于本系列文章主要是针对高考学生的，所以会尽量使用解析法证明，或者同时提供解析法和纯几何等多种证法。当然既然称为几何，也不可能完全避开平面几何的基本知识，毕竟高考也会使用一些简单的平面几何知识。而且很多性质用纯几何证明简洁明了，酣畅淋漓。不过即使用到的平面几何，也都是初中课本水平的平面几何知识，基本是全等、相似，最多会使用四点共圆的性质和判定。不会使用更复杂的几何证明了。
过A的C的切线交x轴、准线、y轴、过F的x轴垂线于S、T、Q、M，则
9、FQ⊥AQ.
10、∠ASF=∠SAF且FS=FA,
11、∠MTF=∠TMF且FT=FM,
12、当A运动时，以AF为直径的圆是否恒与某条直线相切？
13、当A运动时，以AT为直径的圆是否恒过定点？
14、抛物线的光学性质：从焦点F发出的光线经过抛物线上点反射后，反射光线平行于x轴。
15、过原点O作切线AS的垂线与AF交于R，求R的轨迹。
即结论9成立。
注：
本结论虽然简单，但是却至关重要，可以用她证明很多有趣而重要的结论。而且她是圆锥曲线的共有性质。一般的，圆锥曲线焦点在切线上的投影的轨迹为圆。在抛物线中，此圆退化为直线y轴。
证法二：
由结论9及坐标知Q为AS中点，
从而FQ为AS中垂线，从而得证。
注：本结论也可以利用到角公式计算角度完成证明，不过要稍微麻烦一些。
故结论10成立。
证法二：
显然QT=QM,
由结论9知FQ为TM中垂线，
从而∠MTF=∠TMF且FT=FM,
故结论11成立。
注：
由结论9、10、11知FQ为AS和TM中垂线，故还可以得到△AMF≌△STF,∠AFM=∠SFT，∠QFT=∠FST等结论。
12 当A运动时，以AF为直径的圆是否恒与某条直线相切？
容易猜出其与y轴相切于F点，下面提供三种证明。
证明一：
以AF为直径的圆的方程为
证明二：
13 当A运动时，以AT为直径的圆是否恒过定点？
容易猜测出定点为焦点，下面解出交点坐标验证或者用上面性质即可。
证明一：
AF,TF斜率为
显然AF⊥TF，即以AT为直径的圆恒过焦点F。
证明二：
由结论10和11得到
∠MTF=∠TMF=90°-∠ASF=90°-∠SAF,
故AF⊥TF，
即以AT为直径的圆恒过焦点F。
此即为问题13的解法。
注：
本题也可以写成以AT为直径的圆的方程，然后将F坐标带入验证来证明，不过和证法一异曲同工。需要说明的是，问题13也是圆锥曲线共有的性质，即对圆锥曲线都成立。而且还能进一步推广。
14抛物线的光学性质：
从焦点F发出的光线经过抛物线上点反射后，反射光线平行于x轴。
证法一：
设过A的x轴平行线交准线于K,
则容易得到各点坐标为
由坐标知Q为FK中点，
又由抛物线定义知AK=AF,
则FQ⊥AQ，且AQ平分∠FAK。
由光路反射中入射角等于反射角即知
从焦点F发出的光线经过抛物线上点A反射后，反射光线平行于x轴。
这就同时证明了问题9和14.
证明二：
由结论10及平行知
∠SAF=∠ASF=∠IAJ,
即从焦点F发出的光线经过抛物线上点A反射后，反射光线平行于x轴。
证明三：
设过A的x轴平行线交准线于K,
由结论13知∠TFA=90°=∠TKA,
又AK=AF,AT=AT
故△ATF≌△ATK(HL)
则AQ平分∠FAK,
即本结论成立。
注：
(1)光学性质是圆锥曲线共有的性质，一般叙述为过圆锥曲线一个焦点的光线经过边界反射后反射光线经过另一个焦点。等价于某点的切线平分此点与两焦点连线所成的角。因为抛物线另一个焦点为无穷远点，故反射光线平行于x轴。
(2)本结论证明不难，计算不复杂，纯几何方法也行，可以利用前面的性质证明。当然通过证明也发现性质14和性质10及13是等价的，可以互相推证。而且在证法一中顺便就证明了性质9.
15 过原点O作切线AS的垂线与AF交于R，求R的轨迹。
解法一：
设R(x,y)，由RO⊥AS得
故R得轨迹为以F为圆心FO为半径的圆。
解法二：
由性质9知
∠ASF=∠SAF,
故他们的余角相等，
即∠ROF=∠ORF,
则FR=FO,
故R的轨迹为以F为圆心FO为半径的圆。
注：本结论很叙述简洁，结论优美。而且是圆锥曲线共有的性质。上述两种证明体现了解析法和纯几何方法的优劣。解析法具有一般性，但是会比较复杂。纯几何方法很简短，但是要合理利用，需要一定的灵感驱动。
本节又介绍了与抛物线切线和焦点有关的七条有趣的几何性质，希望读者能体会到解析法和纯几何方法各有千秋相得益彰，希望读者胸有成竹、扬长避短、驾轻就熟，合理的选择适当的解法。