在个人字典里查找老弗的语词——弗赖登塔尔《作为教育任务的数学》读书笔记之九

第十六章  几何的状况

1.几何是演绎科学和最古老教学法的一个范例，它也是“产婆术”和“再创造”最好的素材，概率论也是。几何不单纯是演绎理论，想要用强化其演绎结构来拯救几何注定会失败。

2.什么是几何？高层次上，几何是数学中以公理系统组织起来的演绎体系；低层次上，几何是空间的科学，是对空间的理解，是现实的物理空间的科学。鉴于更多的人达不到高层次，他们需要的是对现实空间的了解，所以要结合日常生活实际，以了解现实物理空间为出发点，通过实践操作来探索空间，而不是演绎论证来学习几何。

昱见：这种大众数学教育的观点并非可以完全否定精英数学教育，两者应该并存，就如现实世界中绝大部分普通人和一小部分数学家并存一样。说到底还是因材施教和多元化的教育和选择。

3.几何不同于其他数学的特性：培养逻辑思维形成演绎体系；有实际应用，可以更深入地掌握和理解物理空间。

昱见：几何之所以可贵，因为它的悠久，因为它与实际生活的密切联系，因为它的演绎性，它把数学化做得这样好，既有演绎属性又有实际应用，数与形的完美结合，几何连接理想与现实。

4.几何教学的开始：从实际的三维空间进入立体几何，而非从丢弃现实而抽象出来的二维平面。狄娜·范·希尔的实验，从空间图形到平面图形，对称与反射，角与量角器，全等图形从全等的椅子开始，等等。凡·阿尔巴达的课程，画法几何是入门课，使学生运用眼睛和手去思维。

实验几何学含有一定程度的抽象意义。

昱见：画法几何中有图示法和图解法，当然这与我们小学阶段“数学画”中所说“图示”有很大区别。数学画理论依据有数形结合思想，包括以形助数和以数解形，小学阶段主要以前者为主，其实到更高学段后者会越来越彰显出来！到那时候，数学画就可以更多从解析几何、画法几何中汲取启示了。

5.妥帖，也就是密铺？

昱见：它们有联系，但不是一件事。妥帖更像是一种因密铺动作而生的运动感觉，因而超越了密铺本身。这关乎儿童学习心理，台湾李老师（不好意思一时记不起全名），李义胜老师？李老师的学具操作课程就顺应了儿童的这种心理需求，包括但不限于密铺活动的那些学具操作使儿童在学习的同时获得一种“妥帖”感。动作记忆和妥帖感觉会源源不断地滋养这些儿童的数学学习，在时机成熟时为其思维发展提供素材。进阶高层次或获得智慧便不再遥不可及！

6.空间比平面更为具体。空间包含物体，平面包含图形；图形是画出来的，物体是造出来的；平面图形利于作逻辑分析，空间物体利于创造性活动。

7.耐心是是教师最大的美德。泄露一个可以由学生自己发现的秘密是教学法的犯罪。

昱见：耐心不仅是道德要求，更是科学的要求。无论科学研究还是学习都需要经历一个过程，没有经过咀嚼的知识是无味的，也不能沉淀下来。

8.几何的演绎推理由直观开始逐渐发展。几何学习中高层次的达到，决不能借助算法或形式地灌输来强加给他们。欧氏几何原本是逻辑地组织各部分数学之和，而不是数学的逻辑组织。

昱见：我想到了“传承”，因为有原本以前的几何学传统，所以原本是各部分组织之和；原本本身也是人类数学发展长链上的一环，只不过它是非常炫目的成功的重要的一环，但也只是一环而已，还不是完成态的数学的逻辑组织，所以有漏洞和缺陷在所难免，在这个意义上它成为了现代数学的起点或背弃对象。

9.几何不断渗入分析，解析方法转向公理方法，诞生线性代数。采用向量概念，使代数几何化。

昱见：线性代数的诞生是对欧氏几何缺陷的一种填补需要和重新出发。代数的高度严密性自动渗透于几何。

10.与其让学生学习公理化系统不如让他们学习公理化。事实上，不存在几何所能符合的有意义的体系。要把几何解释成线性代数，学生首先应该熟悉几何。

昱见：也就是说，学生是熟悉几何后再认识线性代数？都是以再创造的方法？如何救几何？这个问题与“如何教几何”并不等价。

老弗对待几何体系有用“蚕食”策略的嫌疑，分而组织之，再整体化。就如读一本艰深的著作，逐章分别读，再整体回顾与思考。

老弗认可和推荐的构造公理系统的方法，即不是给学生一个现成的体系，而是在各类模型中让学生发现其共性，找到其共同的规律，再从中挑选某些特性导出其他的推论。这完全适合本书的阅读方法啊！所以粗读或研读完每一章节后，需要整体的反思。共读无疑是一个好机会！

11.鉴于公理体系与传统演绎的差异，几何学习层次可以是：直观组织现实空间的几何形状与现象，形成概念与性质——用逻辑关系组织概念与性质——进入公理系统。

昱见：数学有两种存在的涵义，一种是作为可以自行完善的一个体系，隔断与现实的联系，用公理化方式隐藏原始定义，存在于人类的思维世界，并构成独立的完整的一个世界；还有一种是作为活动的做出来的数学，允许局部的组织，允许层次不同的演绎抽象水平。很显然，前者是数学家的圣殿，但是有封闭而固化的危险，也不利于普罗大众的数学学习，但是有存在的必要，在没有固化之前的一般状态实现数学的精进；后者是绝大部分人数学学习的需要，保证了数学的厚实的根基，也就是与现实世界的广泛联系，实际应用会刺激数学更快更好发展，更重要的是，没有封闭的完整的体系的禁锢，数学可以更容易实现自身的迭代。所以，个人粗陋的观点，前者是数学的演绎发展之路，而后者是数学的归纳发展之路；前者促数学精细深化完美，后者引数学创新拓展壮大！

12.几何方法的优势是直观和想象，这同时也是它的弱点。常常因为图形或想象的错误而使几何误入歧途。所以，既要借助直观，又要在一定条件下摆脱直观形成抽象概念，由几何图形转入代数形式。

昱见：“定向”在我的字典里找到的近义词是“序”。读书就是用个人字典查找作者的语词。当然有时候是不对等的。

13.直线束或射线束的定向——平面的定向——空间的定向。左旋和右旋之分。

14.四种角的概念如下图：

15.直观的例子常常影响学生正确理解比较抽象的概念。

昱见：我必须百分百承认在诸如群论等高数概念面前一无所知，所以知趣地跳过这些令人眩晕的文字，我的底线是在不补学高数（补学几乎不可能）情况下不要漏掉散落在高数知识推介缝隙中的教学法珍珠，以及数学哲学的只鳞片爪。

夜深如许，虽然违背心意吃了夜宵，仍然感到思维的迟钝。但是等我躺进被窝可能还会再打开下一章先睹为快，因为那是“微积分”！对它的好感和好奇是阅读下去的不竭动力啊！然后，提醒自己：学会智慧地放弃一些高数内容，坚持理解一些可以理解的，整体的视角很重要，它会一直帮助我。

另外，坚持读完本书，不是修炼阅读力，不是自我激励，而是兴趣。这种深藏内心的兴趣的力量大于高数艰深知识的阻碍，这种自发的兴趣促使我寻找到绕开障碍的阅读路径。