构造法、面积法等求坐标(初二掌握这几种求坐标方法初三更轻松)
求坐标的方法有很多种,常见的有过去中考大题的第一小问直接求解法、交点坐标法等,然而近年中考出题有点变幻莫测,求坐标的题也更加灵活多变,难度增加,这就需要我们遇到不同的求坐标题型时,灵活运用,最好在初二一开始就掌握好不同的求坐标方法。
我们先以初二的求坐标题目为例来讲解,初二题目虽然较为简单,但是必要的基础,后续我们会以近年来,常见的中考求坐标的题目作更深入的讲解,敬请关注!
1、构造直角三角形或矩形,利用勾股定理
原理或方法:因为点的坐标是以直角坐标系为基础,这就为构造直角三角形或矩形提供了便利。通常我们需要过某个点作平行于坐标轴(直角坐标系的横轴和纵轴)的直线,构造直角三角形或矩形,利用勾股定理解出某段的线段长,进而求得某点的坐标。
例1、如图,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=10,OC=8.在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折,使点O落在BC边上的点E处,求D,E两点的坐标.
2、构造方程(函数)
原理或方法:因为直角坐标系中我们最常使用的就是方程,所以可求出改点所在直线的方程或者所在的两条直线的方程,解方程或利用方程的性质求解。
例2、如图,已知点P(2m-1,6m-5)在第一象限的角平分线OC上,AP⊥BP,点A在x轴上,点B在y轴上.
(1)求点P的坐标.
(2)当∠APB绕点P旋转时,OA+OB的值是否发生变化?若变化,求出其变化范围;若不变,求出这个定值.
解:(1)由题意,点P(2m-1,6m-5)在第一象限的角平分线OC上,
那么我们可以构造函数:y=x
得2m-1=6m-5.解得m=1.
所以点P的坐标为(1,1).
(2)①当PA不垂直于x轴时,作PD⊥x轴于点D,PE⊥y轴于点E,
又∵PD=PE∠APD=∠BPE
∴△PAD≌△PBE,
∴AD=BE.
∴OA+OB=OD+AD+OB=OD+BE+OB=OD+OE=2,为定值.
②当PA⊥x轴时,显然有PB⊥y轴,
此时OA+OB=2,为定值.
∴OA+OB的值不发生变化,值为2.
3、面积公式法:
原理或方法:已知三角形的面积,以及两个顶点的坐标(通常这两个顶点的连线与直角坐标系的横轴或纵轴平行),通过三角形的求面积公式,求第三个顶点的坐标(初二阶段通常已知横轴或纵轴坐标其中的一个)。
例3、已知在平面直角坐标系中有A(-2,1),B(3,1),C(2,3)三点,请回答下列问题:
4、分类讨论法
原理和方法:有时满足条件的坐标不止一个,这个时候就需要我们分类讨论,把满足条件的所有可能情况都罗列出来,然后逐个检验。
注意:近年中考中常出现分类讨论求坐标的题型,需要重点关注。
例4、在平面直角坐标系中,已知点A(-3,0),B(3,0),点C在坐标轴上,且AC+BC=10,写出满足条件的所有点C的坐标:________.
解:情形1:当点C在点A的左侧时.
设点C的坐标为(x,0).
∵AC+BC=10,点A(-3,0),B(3,0),
∴(-3-x)+(3-x)=10.
解得,x=-5.
∴点C的坐标为(-5,0),点A(-3,0),B(3,0),
情形2:当点C在B的右侧时.
设点C的坐标为(x,0).
∵AC+BC=10,
∴[x-(-3)]+(x-3)=10.
解得,x=5.
情形3:当C在AB之间时(包含AB两点)
AC+BC=6不合题意舍去
好的,同学们,今天的讲解就到这里,欢迎持续关注,精彩还将继续!
八年级上册数学 北京师范大学出版