函数图像的几何变换

一．1.考查函数图像是近年来高考的一个热点。题型有二：一是给函数解析式，指出函数图像，多以选择题的形式出现；二是由函数，画出函数图像或者示意图，利用形数结合法解题，其中常用到几种常见函数的图像变化。

2. 高中常见的函数几何图象变换有4种：平移、对称、局部翻折、伸缩变换等。平常做题时，尽量根据函数性质和几何变换，画出函数图像，以便数形结合、直观明了。

二.4种函数图像变换

（一）平移变换

1.上下平移，上加下减

y=f(x)————y=f(x)+b

b为正时，上移b个单位；b为负时，下移b的绝对值个单位。

2. 左右平移，左加右减

y=f(x)—————y=f(x+a)

a大于0时左移；a小于0时，右移a的绝对值个单位。

（二）对称变换：

1. 关于x轴对称，由点（x,y)和点（x,-y)关于x轴对称得到。

y=f(x)——————y=-f(x)

2. 关于y轴对称。由点（x,y)和点（-x,y)关于y轴对称，而得到下列函数图像关于y轴对称。

y=f(x)——————y=f(-x)

3. 关于原点对称

由点(x,y)和点(-x,-y)关于坐标原点对称而得到。

y=f(x)———————y=-f(-x)

4. 关于直线y=x对称

点(x,y)和点(y,x)关于直线y=x对称，得到原函数和反函数的图像也关于上述直线对称。

（三）局部对称翻折

1. 留右，右翻左。

自变量取绝对值型。因自变量取绝对值是偶函数，x大于等于0时，x的绝对值等于x，所以保留y轴的右边图像不变，再将y轴右边的图像对称地翻到y轴左边。

y=f(x)——————y=f(|x|)

2. 留上，下翻上型

函数值外面取绝对值型，因为当函数值为正时，函数值不变，故留上；当函数值为负时，负数的绝对值是其相反数，故x轴下方的图像要翻到x轴上方。

y=f(x)——————y=|f(x)|

（四）伸缩变换

1. 函数值外面乘一个正常数A，纵向伸缩，横坐标不变，各点纵坐标变A倍。

y=f(x)——————y=Af(x)

2. 纵不变，横变B分之一倍

函数中的自变量x乘一个正常数B型。

y=f(x)——————y=f(Bx)

三. 求作复杂函数的图像的步骤

1. 将复杂函数变形分解，有可能是几个基本函数复合而成；也有可能是某一个基本函数利用若干次几何变换而成，如果是后者，将其分成几步，打箭头，在箭头上下写出变换方法。

2. 按箭头方法，分几次变换得到所求函数图像。

3. 尽量考虑函数的三要素以及奇偶性、单调性和周期性等性质对函数图像的影响。

4. 一个函数，只要做得出图像，什么问题都可以迎刃而解。