神奇的数 / 四六文摘

毕达哥拉斯说：“数统治着宇宙”。伯克霍夫说：“整数的简单构成，一直是数学获得新生的源泉”。在整个数学中，数论（对数的研究）分支是最“美”的，像一座长满奇异花草的大花园。因此，让我们一起走进这些“神奇的数”。

定义：如果一个自然数等于除它自身以外的各个正因子之和，则这个数叫做完全数。如：6=1+2+3

完全数是被古人视为祥瑞的数，古希腊人在公元2世纪末已发现了四个完全数。在自然数里，目前仅发现7个完全数，它们是：

还有三个完全数是120816、2096128、33550336。可见完全数是非常稀少的。从第四个完全数8128到第七个完全数33550336的发现经过了一千多年，这是因为第七个完全数要比第四个完全数大了4100多倍。这可能是历经了一千多年才艰难跨越出一步的原因。

完全数还有一些鲜为人知的性质，如：

(1)所有完全数都可以表达为2的一些连续整数次幂之和，如

(2)除了6之外，其他完全数可表示为连续奇数的三次方之和，如

(3)目前发现的完全数都是偶数，还未发现一个奇完全数。(4)迄今为止，发现的完全数都具有以下的形式：

定义：若自然数M的全部正因子(去掉其本身)之和，恰为自然数N，而N得全部正因子(去掉其本身)之和，恰为自然数M，则称M、N为一对亲和数。如：220的全部正因数(不包括220本身)加起来是：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284284的全部正因数(不包括284本身)加起来是：1+2+4+71+142=220.

那么220和284就互为一对亲和数。

在毕达哥斯拉时代，人们只知道这一对亲和数，后来杰出的阿拉伯数学家本·科拉建立一个有名的亲和数公式：

定义：一个整数的平方称为完全平方数，简称平方数。如：1、4、9、16、25、36、49、81、100……等等都是平方数。在整数中除了素数外，最引人注目的就是平方数。平方数在正整数中比素数更加稀疏，且更有规律性。不超过正整数n的平方数(不包括0)的个数是√n的整数部分。完全平方数还有以下性质，如：(1)前n个奇数的和一定是平方数，