数列复习思维导图

数列性质:等差数列

1.等差数列判定方法

(1)an+1-and(常数)⇔{an}是等差数列;

(2)2an+1=anan+2(n∈N*)⇔{an}是等差数列;

(3)anknb(kb为常数)⇔{an}是等差数列;

(4)SnAn2+Bn(AB为常数)⇔{an}是等差数列.

2、等差数列的性质

(1)在等差数列中,anam+(nm)dd=n-m(an-am);

(2)当公差d≠0时,等差数列的通项公式ana1+(n-1)ddna1-d是关于n的一次函数,且斜率为公差d;前n项和Snna1+2(n(n-1))d=2(d)n2+2(d)n是关于n的二次函数,常数项为0.

(3)若公差d>0,则为递增等差数列,若公差d<0,则为递减等差数列,若公差d=0,则为常数列.

(4)当mnpq时,有amanapaq,特别地,当mn=2p时,则有aman=2ap.

(5)若{an}是等差数列,则SnS2nSnS3nS2n,…也成等差数列.

(6)在等差数列{an}中,当项数为偶数2n时,S偶-S奇=nd;当项数为奇数2n-1时,S奇-S偶=a中,S2n-1=(2n-1)·a中(这里a中即an);S奇∶S偶=(k+1)∶k.

(7)若等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为AnBn,且Bn(An)=f(n),则bn(an)=(2n-1)bn((2n-1)an)=B2n-1(A2n-1)=f(2n-1).

(8)“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和;“首负”的递增等差数列中,前n项和的最小值是所有非正项之和.法一:由不等式组an+1≤0(an≥0,)an+1≥0(an≤0,)确定出前多少项为非负(或非正);法二:因等差数列前n项和是关于n的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性,即n∈N*.

(9)如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.

【注意】 公共项仅是公共的项,其项数不一定相同,即研究的应该是anbm.

(10)等差数列{an}则{}也是等差数列,是以a1为首相公差的一半为公差

等比数列

1.等比数列判定方法

(1)an(an+1)=q(q≠0)⇔{an}是等比数列;

(2)anc·qn(cq均是不为零的常数)⇔{an}是等比数列;

(3)an+1(2)=an·an+2(an+1≠0)⇔{an}是等比数列.

(4)Sn= aq n -a

2.等比数列的性质

(1)在等比数列中,anamqnmq=am(an);

(2)当mnpq时,有am·anap·aq,特别地,当mn=2p时,则有am·anap(2).

(3)若{an}是等比数列,且公比q≠-1,则数列SnS2nSnS3nS2n,…也是等比数列.当q=-1,且n为偶数时,数列SnS2nSnS3nS2n,…是常数列0,它不是等比数列.

(4)若a1>0,q>1,则{an}为递增数列;若a1<0,q>1,则{an}为递减数列;若a1>0,0<q<1,则{an}为递减数列;若a1<0,0<q<1,则{an}为递增数列;若q<0,则{an}为摆动数列;若q=1,则{an}为常数列.

3、等比数列通项公式及求和公式

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