2021以色列数学奥林匹克 中文翻译

1.设表示正整数集. 求所有函数 , 使得对所有满足的正整数 , 下式的值均为整数:

2.在某个岛国上, 每年都会有只羊被献祭给两个真神, 甲和乙. 两位真神都希望自己所获得的羊尽量多,对方获得的尽量少. 献祭规则如下: 初始时, 只羊被均匀的放置在圆周上. 在第一回合, 甲选自奇数对相邻的羊, 在被选中的每对羊之间放置一个魔法石. 这样甲就放置了奇数个魔法石. 在第二回合, 乙任选一只羊, 将其献祭给自己, 并在那只羊原本的位置放下一个食物篮. 在第三回合, 甲选择两只相邻的羊, 在它们之间放置一个障碍物(障碍物不能与魔法石放在一起). 之后, 所有的羊沿圆周走向食物篮. 羊不能通过障碍物, 因此每只羊前往食物篮的路线只有一条. 在这段路途中途经了奇数个魔法石的羊被献祭给甲, 途经了偶数个魔法石的羊被献祭给乙. 求最大的正整数, 使得无论乙如何操作, 甲都能确保自己至少收获只羊.

3.在 内部取一点, 使. 直线 与边 分别交于点. 设 与 外接圆再次相交于点. 类似的,定义点. 直线交于点, 直线 交于点. 求证: 直线 与 的交点在的外接圆上.

4.已知实数满足. 求证不等式: