【中考数学】王桥:再议45°角的处理策略

(王桥)

《沙场秋点兵》解直角三角形一讲的战前演练,有一道小小的填空题,题目如下:

例:(2018滨州)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,点EF分别在BCCD上,若AE=√5,∠EAF=45°,则AF的长为     .

关于45°角,曾经写过一篇文章。今天这道小题也很有意思,咱们再来欣赏下。

做题是要讲究策略的。这道题目,如果没有正确的策略,也是有点小困难的。那么遇到45°角的策略是什么呢?

策略一:胡乱做垂直!

这句话,源于2019年8月登封模型教学研讨会大师兄王宏伟的原话!——话糙理不糙啊。45°和等腰直角三角形如影相随,所以“遇到45°角,胡乱做垂直,构造等腰直角三角形”,可以看做是45°角问题的通法!

方法1:过点E作EP⊥AF于点P,根据勾股定理易求得AE=√5,则AP=EP=√10,不妨设FD=x,FP=y,根据勾股定理构造方程

方法2:过点E作EP⊥AE,交AF于点P,过点P作MN⊥AD于M,交BC于N,则MN⊥BC,构造等腰直角△AEP,则AE=EP=√5,AP=√10,易证明△ABE≌△ENP,则EN=AB=2,PN=BE=MP=1,易知△AMP∽△AFD,根据相似三角形的对应边成比例构造方程,则有:

策略二:构造半角模型!

我们都比较熟悉这个模型:如图,若点E、F分别为正方形ABCD的BC、CD边上的动点,且∠EAF=45°,则BE+DF=EF。

当遇到90°内含45°时,也可以构造这个半角模型,运用结论进行求解。

策略三:构造共角共边的相似三角形!

策略四、12345模型

首先构造“12345模型”。

老王说过:构造方程法是最大的通法!

前面的解法中,基本上都不约而同的用到了构造方程法!但是,究竟什么是构造方程法?又该怎样构造方程呢?——请参阅《春季攻势》第3讲“构造方程法”或《冲刺十招》第2招“无中生有话‘构造’”!

老王说过:胸中有模型,胜过百万兵!

其实,策略一、策略二、策略三、策略四都是直接运用模型的结果!

策略一是构造等腰直角三角形模型!策略二是构造半角模型!策略三是构造共角共边的三角形相似模型!策略四是构造“12345”模型!

究竟什么是数学模型?中考中又有哪些最常见的数学模型?——请参阅本公众号相关文章及《春季攻势》相关文章,以及《冲刺十招》第5招“胸有成竹会‘建模’”!

不过,讲了这么多,突然发现,这道题目居然和上次那篇《一类斜45°角问题处理的通法和特法》是不是很像很像?

来,咱换个角度看一下:我们不妨把原图补成这个图形。这个图形中,在已知条件不变的前提下,求AF和求AN是等价的(例如方法7)那么我们如果把这个图形中的一些线段去掉,就可以得到了下面的图形。

这个图形中,若已知AB=2,BE=1,∠ABE=90°,∠EAN=45°,求AN。——难道这个题目不就是上面的题目吗?其实上一次咱们基本建立了这个图形中知道了∠B=90°,∠EAN=45°,图形中的6条线段只要知道了任意两条,其余的四条基本都是可以通过上面的策略求出来的!——这才是真正意义的通法!

《春季攻势》第3讲“构造方程法”这道题,据说有n种解法,您不妨采用今天的策略,适当练习一下。

练习:如图,已知△ABC中,∠BAC=45°,ADBC边上的高,BD=2,CD=3求AD

【来源】公众号:老王的数学。

(5)本公众号对优秀作者和名师一般会附上“作者简介”,以让广大读者更好地了解作者的研究成果和方向,以便进一步学习作者的相关数学思想或解题方法。

(0)

相关推荐