【中考数学】王桥：再议45°角的处理策略

（王桥）

《沙场秋点兵》解直角三角形一讲的战前演练，有一道小小的填空题，题目如下：

例：（2018滨州）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=√5，∠EAF=45°，则AF的长为     ．

关于45°角，曾经写过一篇文章。今天这道小题也很有意思，咱们再来欣赏下。

做题是要讲究策略的。这道题目，如果没有正确的策略，也是有点小困难的。那么遇到45°角的策略是什么呢？

策略一：胡乱做垂直！

这句话，源于2019年8月登封模型教学研讨会大师兄王宏伟的原话！——话糙理不糙啊。45°和等腰直角三角形如影相随，所以“遇到45°角，胡乱做垂直，构造等腰直角三角形”，可以看做是45°角问题的通法！

方法1：过点E作EP⊥AF于点P，根据勾股定理易求得AE=√5，则AP=EP=√10，不妨设FD=x，FP=y，根据勾股定理构造方程：

方法2：过点E作EP⊥AE，交AF于点P，过点P作MN⊥AD于M，交BC于N，则MN⊥BC，构造等腰直角△AEP，则AE=EP=√5，AP=√10，易证明△ABE≌△ENP，则EN=AB=2，PN=BE=MP=1，易知△AMP∽△AFD，根据相似三角形的对应边成比例构造方程，则有：

策略二：构造半角模型！

我们都比较熟悉这个模型：如图，若点E、F分别为正方形ABCD的BC、CD边上的动点，且∠EAF=45°，则BE+DF=EF。

当遇到90°内含45°时，也可以构造这个半角模型，运用结论进行求解。

策略三：构造共角共边的相似三角形！

策略四、12345模型

首先构造“12345模型”。

老王说过：构造方程法是最大的通法！

前面的解法中，基本上都不约而同的用到了构造方程法！但是，究竟什么是构造方程法？又该怎样构造方程呢？——请参阅《春季攻势》第3讲“构造方程法”或《冲刺十招》第2招“无中生有话‘构造’”！

老王说过：胸中有模型，胜过百万兵！

其实，策略一、策略二、策略三、策略四都是直接运用模型的结果！

策略一是构造等腰直角三角形模型！策略二是构造半角模型！策略三是构造共角共边的三角形相似模型！策略四是构造“12345”模型！

究竟什么是数学模型？中考中又有哪些最常见的数学模型？——请参阅本公众号相关文章及《春季攻势》相关文章，以及《冲刺十招》第5招“胸有成竹会‘建模’”！

不过，讲了这么多，突然发现，这道题目居然和上次那篇《一类斜45°角问题处理的通法和特法》是不是很像很像？

来，咱换个角度看一下：我们不妨把原图补成这个图形。这个图形中，在已知条件不变的前提下，求AF和求AN是等价的（例如方法7）。那么我们如果把这个图形中的一些线段去掉，就可以得到了下面的图形。

这个图形中，若已知AB=2，BE=1，∠ABE=90°，∠EAN=45°，求AN。——难道这个题目不就是上面的题目吗？其实上一次咱们基本建立了这个图形中知道了∠B=90°，∠EAN=45°，图形中的6条线段只要知道了任意两条，其余的四条基本都是可以通过上面的策略求出来的！——这才是真正意义的通法！

《春季攻势》第3讲“构造方程法”这道题，据说有n种解法，您不妨采用今天的策略，适当练习一下。

练习：如图，已知△ABC中，∠BAC=45°，AD为BC边上的高，BD=2，CD=3求AD。

【来源】公众号：老王的数学。

（5）本公众号对优秀作者和名师一般会附上“作者简介”，以让广大读者更好地了解作者的研究成果和方向，以便进一步学习作者的相关数学思想或解题方法。