数学确定性的丧失——数学思考录（一）

数学源于生活，融入逻辑思维。以人为镜，可以明得失；以数学史为镜，可以知思想。一门科学的历史就是这门科学本身。

若想预见数学的未来，正确的方法是研究它的历史和现状。——彭加勒

数学诞生于古希腊，两千多年来，代数和几何理论为数学筑造了坚实的基础，提供了一种确定性的未来。

数学曾经被认为是精确的论证，真理的化身，是宇宙设计的本原。无论在天文、地理、物理、化学中数学所做的预测都与实验相当吻合。希尔伯特曾尝试建立坚实的数学公理体系，证明一切存在的命题。将数学推向完美，让未知成为必然。

牛顿是幸运的人，因为只有一个宇宙，他已经发现了规律。——拉普拉斯

谁曾想一夜之间，哥德尔不完备性定理就打碎了希尔伯特计划。它证明了数学体系是不完备的，总存在无法证明亦无法证伪的真命题。平行公理不能在欧几里得空间中被证明或证伪，说明了欧几里得体系的不完备。如同生活中存在的悖论，一个人不能既当演员又当观众，还有罗素的理发师悖论：只为不给自己理发的人理发，那么，理发师本人的头发谁来理？某种意义上，这就是理发体系的不完备。对于数学的认知，人们被迫作出根本性的改变，接受这样的事实：数学如同人生，不那么完美亦不那么确定。

数学中若发现了矛盾，数学家一般称为悖论，这是避免直接说出矛盾而破坏数学逻辑的委婉用词。——克莱因

回望数学发展史，了解确定性的逐步丧失。

算术，引出对物理现象的不适应性问题。

人们最熟悉的算术，是数学中最古老和最初等的理论，研究数的性质及其运算，简言之，就是加减乘除四则运算。

算术概念来源于生活经验，例如，人们看到一头牛又一头牛，就是两头牛，最终演变成公式1+1=2。但是简单地应用1+1=2可能会导出荒谬的结果，例如，你将等体积的酒精和水混合，你并不能得到两体积的酒，事实大约只有1.8体积。两个频率分别为 100Hz和200Hz的声音叠加，得到的并不是频率300 Hz的声音，事实上合成音的频率还是100Hz。电路中两个大小分别为R1和R2的电阻并联，等效电阻是R1R2/(R1+ R2)。正如，你把一头狮子和一只免子关在同一个笼子里，最后绝不是两只动物。

也就是说，只有生活经验能告诉我们怎样的算术能用在哪里，我们不能保证一条先验公式可以适用于任何物理现象。

只要数学的命题是涉及实在的,它们就不是可靠的；只要它们是可靠的，它们就不涉及实在。——爱因斯坦

虽然通过引入与熟悉的规则不同的运算，补充算术解释，构建一个更实用的算术，就可以解决上述问题。但数学问题的本质仍然存在。因此，从最初的算术开始，数学的不确定性就埋下了伏笔。

时至今日，人们知道，希腊人试图从几条不证自明的公理出发和仅仅使用逻辑演绎推理的方法来保证数学的真实性被证明是徒劳的。数学并不是一个真理体系这一认识确实振聋发聩，也推动了理论数学的根本性变革。