反比例函数的解题策略：面积问题与面积法

反比例函数策略（三）

——面积问题与面积法

今天只谈与反比例函数“自带”的“面积模型”和与反比例函数相关的“面积法”。

一、反比例函数中的“面积模型”

反比例函数是“自带”“面积模型”的！

常言：“龙生龙，凤生凤”，发比例函数一旦诞生，就“自带”贵族气质——“自带”“面积模型”。反比例函数就是这么“任性”！

（一）反比例函数图像上的坐标矩形与坐标三角形的面积（以下部分内容选自《沙场秋点兵》）

1、如图1，若反比例函数解析式为y=x/k，则；S矩形OBAC=|k|；

2、如图2，若反比例函数解析式为y=x/k，则；S△OAB=1/2·|k|。

关于这两个结论的证明，自然不用赘述，关于这两个结论的灵活应用，则更是仪态万千，手头有《沙场秋点兵》的话，上面有许多练习，自己练练。也可从本公众号找到去年推送的文章——反比例函数中的面积问题》自己打印练习......

（二）反比例函数中的三角形与等积梯形

1、如图3，若反比例函数解析式为y=k/x，则；S△OAB=S梯形BCDA；

2、如图4，若反比例函数解析式为y=k/x，则（1）S△OAB=S梯形CDEA；（2）

CD²=EB·EA；

这两个结论，其实是前面结论的更进一步，但是，已经有些同学不太好理解了。其证明如下：

1、如图3，易知S_△BOC=S_△AOD=1/2·|k|，∴S_△AOM=S_梯形ADCM，∴S_△BOM+S_△ABM=S_梯形ADCM+S_△ABM，即S_△AOB=S_梯形BCDA；

2、如图4，易知S_△COD=S_△BOE=1/2·|k|，∴S_△COM=S_梯形BEDM，则（1）S_△COM+S_{△梯形ABMC}=S_梯形BEDM+S_梯形ABMC，即S_△AOB=S_梯形BEDM；（2）易知CD·OD=BE·OE，∴BE:CD=OD:OE=CD:AE，即CD²=EB·EA。

（三）过双曲线上两点的矩形或直角三角形

如图5：

1、S_△OAP=S_△OPB=1/2(S_矩形OCPD-|k|）；

2、（1）PB：BD=PA：AC；（2）AB∥CD；

这两个结论的证明不算太难：

1、∵矩形PCOD，∴△PCO≌△PDO，则S_△PCO=S_△PDO，由（一）知，S_△ACO=S_△BDO=1/2·|k|，∴S_△OAP=S_△OPB=1/2(S_矩形OCPD-|k|）；

2、∵S_△ACO=S_△BDO，S_△OAP=S_△OBP，∴PB·OD=PA·OC，BD·OD=AC·OC；∴PB：PA=AC：BD=OC:AD，则PB:BD=PA:AC，∴AB∥CD；

二、“面积法”在建立反比例函数线段模型中的作用

“面积法”是一个古老而又新兴的话题，从古老的“勾股定理”的证明，到现在的计算机证明，“面积法”有时候起着化腐朽为神奇的绝妙作用。有些题目，用常规解法比较麻烦，而用“面积法”则简洁明了。简单的来说：运用面积公式、面积之间的和差关系、积的不变性等来解决问题的方法统称为面积法（若有时间，再单独探讨）。在解决反比例函数的相关问题时，灵活运用“面积法”，也能得出一些常见的线段基本模型。

（一）同一象限内反比例函数图像上两点连线的平行线

1、如图6，过反比例函数y=k/x上两点A、B，分别作坐标轴的垂线 ，垂足为C、D，则AB∥CD；

2、如图7，过反比例函数y=k/x图像上的点A、B分别向两条坐标轴作垂线，垂足分别为E、F、C、D，则AB∥CD∥EF；

对于1中的结论，可以仿照图5中2的证法。也可以在图7中，一次性予以证明。我们从证明中可以体会到“面积法”的神奇作用。

如图8，连接AF、BE、AC、BD，则S_△ADC=S_△BCD=1/2·|k|，∴AD·CM=BC·DM，即AD:DM=BC:CM，则AB∥CD；且易知∴S_△BEF=S_△AEF=1/2·|k|，根据等底等高的三角形面积相等，则△BEF和△AEFEF边上的高相等，则AB∥EF。∴AB∥CD∥EF。

根据这里两个结论，我们进而可以得到下面的结论：

（二）一次函数被反比例函数所截得到的等线段

1、如图9，若一次函数y=k₁x+b与反比例函数y=k₂/x交于点A、B，与坐标轴交于点C、D，则AC=BD；

2、如图10，若一次函数y=k₁x+b与反比例函数y=k₂/x交于点A、B，与坐标轴交于C、D，则AC=BD；

如图11、图12，分别过点A、B作AM⊥y轴于点M，BN⊥x轴于点N，连接MN。运用面积法，仿照（一）中的证明方法，易证明MN∥AB，则易证明四边形BDMN和四边形ACNM是平行四边形，∴在图11中，AC=MN=BD。在图12中，AM=NC，DM=BN，则易证△ADM≌△CBN，则AD=BC。

三、“反比例函数的面积模型”和“面积法”在解决反比例函数问题中的作用

例1、如图13，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y=k/x（k为常数，且k>0）在第一象限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C．若BE:BF=1:m（m为大于1的常数）．记△CEF的面积为S₁，△OEF的面积为S₂，则S₁:S₂=______．（用含m的代数式表示）——选自《沙场秋点兵》反比例函数的常见模型

解析：易证明△BME∽△FCE∽△FNA，且易知BE=AF，则BE:EF=ME:MC=AF:EF=NF:FC，∵BE:BF=1：m，则BE:EF=1：（m-1）;∴ME:EC=NF:FC=1：（m-1）.如图14，作EH⊥x轴于点H，设NF=1，NC=EH=m，则FC=m-1，设EC=NH=n,易知S_△EOF=S_梯形EHNF，即S₂=1/2·(FN+EH)·HN=1/2·(m+1)·n；,S₁=1/2·FC·EC=1/2·（m-1）·n,∴S₁:S₂=（m-1）:(m+1).

例2、如图15，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线y=k/x交OB于D，且OD：DB=1：2，若△OBC的面积等于3，则k的值（　　）——选自《沙场秋点兵》反比例函数中的面积问题

A. 2     B.3/4    C.24/4    D. 无法确定

解析：如图16，作DF⊥y轴于点F，DE⊥y轴于点E，则易知S_△OBC=S_梯形DFEB，∵OD：DB=1：2，∴OD:OB=1:3，则S△ODG:S△ODE=1:9，∴S_△ODF：S_梯形DFEB=1:8，即S_△OCE：S_△OBC=1:8，∴k/2：3=1:8，解得k=3/4选B。

例3、如图17，两个反比例函数y=k1/x和y=k2/x（其中k₁＞0＞k₂）在第一象限内的图象是C₁，第二、四象限内的图象是C₂，设点P在C₁上，PC⊥x轴于点M，交C₂于点C，PA⊥y轴于点N，交C₂于点A，AB∥PC，CB∥AP相交于点B，则四边形ODBE的面积为（　　）——选自《沙场秋点兵》——反比例函数中的面积问题

A. |k1﹣k2|      B.K₁/|k₂|        C. |k1·k2|      D. k₂²/k₁

解析：设OM=a，PM=NO=b，MC=c，OE=d，∵OM·PM=ab=k₁，OM·MC=OE·ON=ac=bd=-k₂，∴c=-k₂/a,d=-k₂/b，∴S矩形ODBE=cd=

k₂²/ab = k₂²/k₁，选D

三、关于反比例函数面积问题的一个最值问题

关于反比例函数的最后一个问题：

如图18，点P为反比例函数y=k/x的图像上一动点，经过点P作x、y轴的垂线PC、PD，当四边形PDOC为正方形时，周长最小；

这个结论的证明，也很有意思。要用到一个不等式：a+b≥2√a·√b（你会证明吗？）。

我们知道，反比例函数图像上任意一点，向坐标轴“做双垂”构成的坐标矩形的面积为定值|k|。我们不妨设这个坐标矩形的长为a，宽为b，即a·b=|k|.根据a+b≥2√a·√b，即a+b≥2√k|，当且仅当a=b时，取等号，∴当且仅当a=b是，a+b最小，即当矩形为正方形时，周长最小！

反比例函数和“面积”居然有如此多的的渊源啊！如果您对反比例函数的“策略一”和“策略二”还有印象的话，你会发现，“根据反比例函数图像上任一点的纵横坐标之积为定值”这一结论，居然如此之重要！既是“数形结合”，又是“构造方程”，还是“面积问题”！