整除和余数（五）

一直讲整除，今天我们来讲讲余数的事儿。

所谓的余数，就是指两个数相除，但是被除数a不是除数b的整数倍，还多了那么一点点的东西。用公式写出来就是：

a=pb+r

其中0<r<b.

数学最可恨的地方就在于基础的东西也就是两三句话，但是一到应用就。。。

这个心路历程，想来大家都是有的吧。。。

如果说让大家求27除以5得几余几，估计都会觉得小儿科吧。作为进阶训练，这样的强度当然是不能让大家满意的。

我们先来看一个简单的例子。

97和79除以一个数，余数都是7，那么这个数可能是多少？

我们当然可以用穷举法一个个试验，但是理论上要试79次才能把所有情况算完，这显然不是数学上的方法。

那应该怎么办呢？

我们解决任何问题之前，一定要养成一个习惯：就是看看我们手里有什么工具。

为什么高考数学那么难，因为到了考场上的时候，你能用的数学工具非常多——你会不会是一回事，但是工具确实摆在那里，因此挑选合适的工具也是很重要的能力。

你说我要砍树，拿了把榔头，带了墨线，这树啥时候能砍倒？

正确的做法就是从一堆工具中挑选出锯子，这才是对路的。

同样的，我们在解决数学问题的时候，一定要学会先理一下自己有什么工具。那么解决这个问题一定是在这些工具里。

什么？不在怎么办？

那只能凉拌了。。。

我们来看这个题目，关于余数的工具只有文章开头提到的定义。 所以自然要从定义出发咯！

考察一下a=bp+r，把等式两边都减去r，得到a-r=bp，也就是说，97和79减去7以后，都可以被某个数除尽，这个题转眼就变成了求97和79减去7之后的所有公约数了！

接下来求90和72的所有公约数，包括了1,2,3,6,9,18。那么这些数被97和79除以后，余数都是7么？

这时候再回忆一下，r也是有要求的！每个r必须要小于除数b，所以比7大的约束只有9和18，其他的被排除了。

我们再回忆一下整个过程：我们有什么？有且仅有关于余数的定义。这时候要确定b，就要把a-r进行分解，同时要注意r的范围。

see？

好，我们再来看一个：

100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0，这个除数可能是多少？

突然发现，这个就属于传说中的数字变一变，立马抓瞎的情况。

不要急不要急，还是按照刚才的方法我们来理一理：

100=pb+r

84=qb+r

很显然p不等于q，现在要求b的可能的值，怎么办？

从前面的例子里，我们得到了一点启示：有余数的问题，如果化成整除的问题，似乎我们更得心应手一些。

那是当然啊！毕竟前面讲了四讲啦！

好吧好吧，那现在怎么把这个题目变成整除呢？

把两个式子一减，我们发现16=(p-q)b！

也就是说，这个除数必然是16的因子，那么符合条件的有1,2,4,8,16这几个数。但是1,2,4都能被这两个数整除，所以答案就是8和16.

学会了么？

我们来做个习题吧！

有一个大于1的整数，用它除300,262,205得到相同的余数，求这个数。