“指对”聚首就用对数恒等式

作者：彭西东   来源：素人素言

高考导数，是很少考查基本初等函数的，都是将一些基本初等函数通过四则运算后，得到稍复杂的函数，再设计问题。

当然，复合函数也是考试的一种常态了。

在所有的基本函数中，稍高级些的是不是就是指数和对数函数了呢。

所以，还记得高一时的函数，求值域或最值时，涉及到的函数，往往都是指数或对数函数与其它函数的复合函数。

而高考，导数的客观题压轴，更多的也侧重于指、对数函数与其它函数的综合函数，甚至于发展到指对数共存的状况。

今天，也想就这种学生最头疼，而且据说一直是优秀生专利的指对函数共存式问题，做一些探讨，以期达到大众化的解题思路。

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当然，要想很从容地跟上我的思路，首先还是要了解并熟悉下几个准备知识的。

应知

六个函数

高考中的函数，最常见的，就莫过于下面这六种了。

必会

两类切线

与指对数函数相关的，还有四条切线，据我的经验，在导数综合题中，也是非常有用的。

由曲线与切线的位置关系，得到的几个不等式，常称为切线不等式，是我们在函数中进行放缩时最常用不等式。

熟记

一个恒等式

是不是很多同学都熟悉对数的那些公式呢？就比如下面这几个：

甚至是难得用到却很高大上的换底公式：

这些，也确实都是为大家所熟悉的吧。

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可是，你知道对数里，还有一个真的很重要很重要的恒等式么？

我们一般称它为对数恒等式的：

也许你还记得课本中曾经出现的这个公式，但相信你一定是很少会用到它的。

原因很简单，我们平时所见的题中，常规方法就好，是很少需要这尊大神出面来解决问题的。

一般来说，只有当指对数出现在同一个式子中，茅盾实在没法调和时，才会请它出面来解决问题。

而且，它能很轻易的、完美的就解决了你眼中的难题哦。

主要的原因，是因为这个恒等式，可以很轻易地做到对指数或对数进行改造，达到相互转化的效果。

其实，网传的同构法，就是利用这个特点，将指对数混合式进行形式上的改造，达到结构的统一，从而通过构造函数解决问题。

说白了，同构的作用，其实就是实现常见统一化的思路。

只是，因为对对数恒等式的不熟悉，感觉统一化的方式较为奇特罢了。

下面还是通过几个典型例题，好好地体会一把吧。

典型例题讲解

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其实，从上面例题的思路也不难看出，对于指对数共存的式子，用一个对数恒等式就可以达到结构上的统一了。

所以说，对数恒等式才是解决这类问题最至关重要的一个因素。

当然，如果仅仅用它还不能达到目的，还是可以考虑用切线不等式进行调和的。