郑毓信:“数学深度教学”十讲之二 --“数学深度教学”的具体涵义
在第一讲中，我们既提到了数学教学应当努力促进学生思维的发展，又认为片面强调“人人都应学会数学地思维”体现了狭窄的“学科性思维”。这两者是否有一定的矛盾?恰恰相反。笔者以为，这十分清楚地表明了由“帮助学生学会数学地思维”转向“通过数学学会思维”的重要性，后者可被看成这里所提倡的“数学深度教学”的一个重要内涵，即我们应当由突出强调具体的数学方法和策略，转变为注重一般性思维策略与思维品质的提升。
还应强调的是，上述主张反映了这样一种思考:数学教育应为大多数将来未必会从事与数学有关行业的学生作出实质性的贡献。基于对波利亚相关思想的分析，我们可以更好地认识到这一点。
具体地说，作为“问题解决”现代研究的直接奠基者，波利亚之所以特别重视“问题解决”与“数学启发法”，主要是认为它们具有超出数学的普遍意义:“解题是人类的本性。我们可以把人类定义为'解题的动物’;他的生活充满了不可立即实现的目标。我们大部分的有意识思维是与解题相关的;当我们并未沉溺于娱乐或白日做梦时，我们的思想有着明确的目标。”数学启发法的用途“不限于任何题目。我们的问题可以是代数的或几何的，数学的或非数学的，理论的或实际的……”[1]
然而，尽管波利亚的上述工作具有十分广泛和深远的影响，在波利亚以后的相关理论研究中也有不少新的重要成果，但从数学教学的角度看，相关努力似乎又都未能取得预期的效果。例如，20世纪80年代在世界范围内盛行的“问题解决”运动，就曾希望通过启发式的教学有效提升学生解决问题的能力，但最终却不得不面对这样的事实:尽管学生已经具备了必要的数学知识，似乎也已较好地掌握了相应的解题策略，却仍然不能有效地解决问题。
上述情况当然引起了人们的深入思考。以下就是一个普遍性的认识:“以问题解决作为学校数学教育的中心”有一定优势，但也有很大的局限性。首先，“问题解决”并不能被看成数学活动(包括数学学习活动)的唯一形式;再者，除去“问题提出”这样一个环节，我们应特别重视这一问题:“获得解答，继续前进”。
上述认识主要围绕数学活动进行分析，而如果着眼于大多数学生，我们显然又应超出数
学，从更一般的角度进行思考。这也正是波利亚曾明确提及的一个观点:“解数学题的能力，当然依赖于某些有关的数学的专题知识，除此而外，它还有赖于某种有益的思维习惯，某种一般性的我们在日常生活中称之为'常识’的东西。一位教师，他若要同样地去教他所有的学生--未来用数学和不用数学的人，则他在教解题时应当教三分之一的数学和三分之二的常识。对学生灌注有益的思维习惯和常识也许不是一件太容易的事，一位数学教师假如在这方面取得了成绩，那么他就真正为他的学生(无论他们以后是做什么工作的)做了好事。能为那70%在以后生活中不用科技数学的学生做好事当然是一件最有意义的事情。”[2]
这正是以大多数学生,特别是以将来未必会从事数学相关行业的学生为对象进行考察的结果，更集中地反映了“努力提升学生的核心素养”这一思想对于数学教育的主要启示，即我们必须超出数学,从更广泛的角度进行分析思考。这不只是指我们必须超越具体知识和技能深入到思维的层面，也是指我们还应由具体的数学方法和策略过渡到一般性思维策略的学习与思维品质的提升。
还应强调的是，我们在此所提倡的并非“常识”的简单回归，而是“常识”在更高层面，即“专业化”基础上的重建。例如，数学教学中所提及的“几何直观”显然不应被等同于“感性直观”的简单回归，而是指我们应当帮助学生学会用几何图形表现内在的思维活动，从而实现思维的“可视化”，并由此发展自身的“形象思维”与“数学直觉”。
在此，又直接涉及这样一个问题:就大多数将来未必会从事数学相关行业的学生来说，
这么多年的数学学习是否真的没有任何效果或影响?从文化的角度看，答案并非如此!所谓“文化”，在此主要是指由某种因素(职业、居住地域、民族等)联系起来的一个群体特有的生活方式和工作方式，包括思维方法和价值观念等。它具有两个重要的特征。(1)体现于人们生活或工作的方方面面，即相关成员的举手投足之中，十分自然、自在，而非刻意做作，可被看成主体内在的价值观念、生活态度与思维方式的具体体现。(2)文化的养成主要是一个潜移默化的过程:作为共同体的一员，人们正是通过在相应群体中的生活与工作不知不觉地养成了相应的生活方式、思维方法和价值观念等;正因此，人们对此往往不具有清醒的自我意识，更缺乏自觉的反思。
进而，“数学文化”就是指人们通过实际参与各种数学活动(包括数学学习)所形成的一些特殊的行为方式、思维方法与价值观念等，它们都不是刻意做作的结果，而是体现于生活或工作的方方面面、举手投足之中。
由以下的对照比较可以看出，长期的数学学习确实会对人产生一定的影响，尽管其直接涉及的只是数学教师与语文教师。
【例2】语文教师与数学教师的不同“行事方式”。
经常参加教师培训，此类活动常常是这样安排的:这一周是语文，下一周则是数学。一次碰到安排住宿的老师，笔者随口问:“数学老师和语文老师的味道是否一样?”尽管对方不是搞教育的，她的回答却十分肯定:“数学老师和语文老师的味道完全不一样!”这当然引起了笔者的兴趣:“怎么不一样?”这位老师回答道:“语文老师很难弄，非常个性化，每个老师的要求都不一样。有的说我神经衰弱，不能和别人睡一个房间，所以千万千万给我安排个单间;有的说我一定要住向阳的房间，因为看不见阳光我会情绪低落……数学老师则很简单，来了以后只有一句话:'是不是大家都一样?’”
听报告也不一样:语文老师容易激动，愿意鼓掌，甚至会站起来鼓掌，听到激动之处恨不得冲上来和你拥抱……数学老师则往往静静地坐在那里，比较含蓄，不太愿意鼓掌，最多露出一点微笑，说一句“这个人讲得还不错”……
以下则是笔者的一次亲身经历。
在深圳听课，有数学教育专家，也有语文背景的专家，大家一起听课。一堂课下来，有语文背景的专家三次流下了热泪;但笔者的第一反应是:“我还没有搞清楚为什么要掉泪呢!”
还是在深圳，听中文教授作报告“什么是中国语义”。可以设想:如果是数学教师，一定会对“中国语义”做出明确定义。但中文教授的做法完全不同，他举了10个例子:“推敲不定之月下门”“闭花羞月之少女貌”……很生动，很有味道，但例子说完就没有了。我说:“你还没给定义呢!”但这恰恰是语文教学的特有韵味:语文讲究的就是比喻，从而给人留下充分的想象空间;而数学讲究的是确定性、客观性和精确性。
综上可见，语文教师与数学教师在一定程度上就可被看成生活在不同的“世界”之中，即具有完全不同的“文化”，尽管双方很可能都未能清楚地认识到这一点。
那么，究竟什么是笔者在此所倡导的主要观点呢?概括地说，“深度教学”所希望的就是由上述的不自觉状态(“潜移默化”)转向更自觉的状态，特别是，我们能通过数学教育目标的适当调整和落实，为大多数学生在离开学校以后留下更多、更有价值的东西。
最后，应当指出的是，为了实现上述目标，我们不应仅仅围绕数学本身去分析思考，而应当进一步研究未来社会对于合格公民究竟有怎样的不同要求(对此我们将在第三讲中做出具体的分析论述)。在这一基本立场下，我们对“数学深度教学”的具体涵义做出如下概括:数学教学必须超越具体知识和技能，深入到思维的层面，由具体的数学方法和策略过渡到一般性的思维策略与思维品质的提升;我们还应帮助学生由在教师(或书本)指导下进行学习转向更自觉的学习，包括善于通过同学间的合作与互动进行学习，从而真正成为学习的主人。
参考文献
[1]G.波利亚.怎样解题[M].阎育苏，译.北京:科学出版社，1982.
[2]G.波利亚.数学的发现(第二卷)[M].刘景麟，等译.呼和浩特:内蒙古人民出版社，1981.
(内容选自《小学数学教师》2019年第9期“专栏”栏目。欢迎通过中国知网下载，或订购《小学数学教师》杂志。图片来自网络)