我与费尔马小定理的偶遇
作者汪洋。本文参与遇见数学＃数学蒲公英＃第2次征文活动，参与链接请点击这里. 这里感谢 [遇见核心团队]@行可爱 童鞋校对.
★ 提示: 如果文中数字/公式显示较大, 请点击右上角中"刷新"即可恢复正常.
任何两个不被3整除的整数，要么和被
整除，要么差被
整除。后来再把这个性质整合一下就是，不被
整除的两个数之平方差被3整除。
现在用数学语言表述一下就是：
,且
,则
.
并且给出了一个证明：整数除以 3 之余数分成 3 类，一类余 0，一类余 1，一类余2（-1）。因此不被3整除的数和余数平方再除以3的余数均是1.这是因为余数1的平方是1，余数2（-1）的平方，除以3的余数也是1.因此两两相减，总能被3整除。
记得那时从发现规律到证明这个发现，用了好几天。当得到证明以后，我又想：这种规律只有3有吗，4有吗，5有吗？于是我在想两个数的立方差是否一定整除某个数。我试了几个，比如
这些结果可以看出，并没有一个固定的因子。我有点小失望，但是却不甘心，过了几天后我又试了两个不被5整除的数的平方和与平方差均能被5整除。把这个性质整合一下就是：两个不被5整除的数的4次方之差，必被5整除。
用数学语言表述一下就是：
,且
,则
.
很快仿照上面3的性质，我给出了一个证明：整数除以 5 之余数分成 5 类，一类余 0，一类余 1，一类余 2，一类余 3（或-2），一类余 4 或（-1）。因此不被 5 整除的数和余数四次方再除以 5 的余数均是 1.这是因为余数 1 的四次方是 1，余数 2）的四次方为 16 除 4 的余数也是 1，余数是 3（-2）的四次方除以 5 的余数也是 1。余数是 4（或-1）的四次方除以 5 的余数也是 1，因此两两相减，总能被 5 整除。
当我得到证明之后，马上就猜测，所有的奇数都有这个性质吧。马上测试不被 7 整除的两数之立方和或两数之立方差必有一被 7 整除。整合之后就是，不被 7 整除的两数之 6 次方之差，必被 7 整除。同样按到上面的方法，把整数分成 7 类。计算了，
，除以 7 的余数均为 1。其中后三个
作了一些处理，只计算
.这是一个没有电脑计算器的年代，也许有些大城市里有计算器吧，但对于一个农村的少年来讲，这些都只能依靠手工计算。
得到这个证明，很兴奋，于是进一步的猜测：两个不被 9 整除的数，其 8 次方之差一定被 9 整除，验算第一个
，除 9 的余数为 3。结果打脸了，有点小失望……。过了几天我发现前面有这种性质的数，都是素数。并且回过头去验证最小的素数 2，即任何两个不被 2 整除的数之差。必被 2 整除。这个结果很显然。于是就给出了下面的猜想：
,且
,则
.
马上就验算了 11 符合，13 符合，15 不符合。于是我更确信了我的猜测是对的。再往后我没法验算了，因为数字实在太大了。就这样我上了高中，而且想要得到一个更完美的证明的念头一直在脑海中。读了一年高中，依然找不到这个证明，这让我有些失望。
读到高二的时候，学了二项式定理。于是我有了再证这个猜测的冲动。先证明一个最简单的吧，即
，并且把这个再作了一下小变型。即要证
只须证明
.而
,其余各项很明显被 p 整除，因为 p 是素数。所以
，即
.
由此我们还可以证明：
.
因为
其中
整除
,
整除
,且上式中其余各项都整除素数
.因此
.
不难用归纳法：给出
的证明。从而给出如果
，
，其中
,且
.进而不难得出
。
从猜测到证明我花了两年多的时间。证明之后我兴奋了好长时间。直到有一天我在图书馆看到一本课外书，上面介绍了费尔马小定理。
费马小定理是数论中的一个定理：假如a是一个整数，p是一个质数，那么
是
的倍数，可以表示为
这让我又有些小失望。原本想在数学史上留一下一个属于自己发现的定理，没想到这个法国佬（只是当时心理不平，其实我还是挺尊敬这个老前辈的）在 1636 年就发现并证明了。
再之后又在一些书刊上看到了欧拉定理。费马小定理其实是欧拉定理的一个特殊情况：如果 n 和 a 的最大公因数是 1，那么
是欧拉函数。欧拉函数的值是所有小于或等于 n 的正整数中与 n 的数的个数。假如n是一个素数（质数），则
，即费马小定理。
后来上了大学，学了一些数论的知识。对费马小定理的证明做了简化：
求和符号中各项除 a 个 1 以外，每项均被素数 p 整除，故
，从而
。
虽然费马小定理早已被发现并证明，但我回忆起几十年前与费马小定理的偶遇，记忆深处依然有些小小的兴奋，一些小小的失落……(- End-)