数学之美——伟大的数学家欧拉及他对巴塞尔问题的精妙解法
翻译: 李星, 石婧仪, 校对: 点点
英文: https://sourl.cn/2VJBuJ
德国数学家、天文学家和物理学家卡尔·弗里德里希·高斯，被许多人认为是"自古以来最伟大的数学家"，但他却给出了如此赞誉献给欧拉本人。
本文将介绍瑞士数学家莱昂哈德·欧拉是如何解决著名的巴塞尔问题的。欧拉是历史上最伟大的数学家之一。他的多产被誉为传奇，且他的数学成果足以汇聚成 92 卷文集。
“读读欧拉吧， 他是我们所有人的老师。”——皮埃尔-西蒙·拉普拉斯
巴塞尔问题(Basel Problem)
巴塞尔问题于 1650 年由意大利数学家彼得罗·门戈利首次提出，1734 年由欧拉解决，这使他立即得到认可。这个问题是求自然数的平方的倒数之和：
许多有影响力的数学家试图找到一个公式，以求自然数平方的倒数之和。如微积分的两位共同发明者约翰·沃利斯和伟大的戈特弗里德·莱布尼兹就是尝试了这个问题但以失败告终的众多人中的两位。但年仅 28 岁欧拉在就解决了这个难题，并且他给出的答案的数学性质令数学界感到惊讶。尽管他给出第一个证明(他后来又提供了其他几个证明)并不是严谨的，但它的美、简单和原创性是都是令人难以置信的。
欧拉的独到见解是将 函数写成了根式解的形式。
为便于理解，来看个例子，下面的四次多项式写为根式解的形式：
将表达式相乘后展开，我们能够得到下面结果：
欧拉的策略是将同样的展开式应用到超越函数上。
超越函数(Transcendental Functions)
超越函数就是“超出”代数函数范围的函数，是指那些不满足任何以多项式方程的函数，也就是不能写成与“等式 4”类似的多项式相乘的形式。指数函数、三角函数和对数函数是三个众所周知的超越函数例子。
函数具有以下根：
欧拉利用下面最基本的数学恒等式，将 函数写成了与等式 3 中 相同的格式
由于对于等式 5 中的每个根都有相应的负根，因此等式可以写成下列形式：
下一步是将等式 6 中的因子相乘展开，但让我们只关注其二次项就可以了：
泰勒级数
泰勒级数是将函数表示为无限项连加式，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做麦克劳林级数，以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。
图 6 所示的七个泰勒级数代数形式如下：
函数的泰勒展开式是：
人们可以认为 「等式 8」 是具有无限项的"伪多项式"，就像「等式 5」中所示它有无穷个根。
比较两个结果
对比「等式 7」 和「等式 9」，我们就能得出最终目标结论：
作为额外收获，欧拉的推导过程为我们提供了著名的沃利斯公式。只需在 代入「等式 6」中即可得到。