一道初中数学几何“网红”题的八种解法（学霸必读）

在民间广泛流传的几何题中，有这样一个“网红”。此题看似简单，但仔细一做，怕是给够时间也不一定能啃下来。今天在此处介绍本题的八种纯几何解法，有三、四种解法比较适合教学，各位老师不妨参照一下。题目简单记为：20-80-80-70-60.

“网红”几何题

△ABC中，AB=AC，∠A=20°，点D、E分别在边AC及AB上，且∠DBC=70°，∠ECB=60°.  求∠EDB的度数.

在正式解答之前，还是要不厌其烦地介绍本题的背景，此类问题在几何中被称为角格点问题（国外称不定角问题Adventitious Angles）。平面上四个点（任三点不共线）两两联结所形成六条线段，若任两条线段的夹角都为整数度数，称该四点组为角格点组.  格点即指恰似直角坐标系中的格点。本题要证明的是这样一个事实：D、E、B、C四点是角格点组。

所有角格点问题可以通过角元塞瓦定理（本质是正弦定理）划归为求解一个含所求角的三角方程，然而要解出方程需要扎实的三角恒等变形的功底，这并不适合初中生。在初中阶段还是要尽可能追求几何形式上的美感，因而角格点问题的纯几何解法一直是大家讨论的热点。

田永海老师写过一本关于角格点问题纯几何解法的专著，里面列举了数百道角格点（所有度数皆为十的倍数）问题和它们的纯几何解法。然而，找到所有角格点问题对应的纯几何解法，个人以为即便可能，也没有什么必要（首先角格点组实在太多，除非有万能的纯几何解法），能挖到适合竞赛或教学的宝藏足以。

国外几何网站上的角格点问题

最后，对一个确定的三角形来说，平面上是否有点，有几个这样的点，可使得该点和三角形三顶点形成角格点，这是一个比较有趣的问题。由于角元塞瓦定理的逆定理依然成立，所以可以通过计算机来进行遍历枚举，找到所有的角格点组，而通过理论计算出角格点组的所有可能性，这方面的资料暂时还比较少。

言归正传，本题的以下解答来自百度贴吧、数学网站，名师指点，高手都在民间，而小编辛勤收集，也请用力点赞。

解一：等边+全等

取∠FBC=60°，点F在边AC上，记EC、FB交于点O，得等边△OBC、等边△EOF，∠ABD=∠DBF=10°，联结AO，∠OAC=10°.  由AB=AC，易证明△AOC≌△BDA，则AO=BD，进而可证△AOF≌△BDF，这样，DF=FO=EF，而∠DFE=∠ACB=80°，从而∠EDF=50°，∠EDB=50°-30°=20°。

解二：等边+比例线段

解三：等边+相似

解四：等边+全等2

在BD上取一点F，使∠FBC=40°，由∠FBC=70°，可得∠BFC=70°，BC=FC，∠FCE=20°.  O在EC上，且AO平分∠BAC，可证△BOA≌ADB，再由∠OCB=60°得等边△BOC，故AD=OB=BC=FC.  又∠EAC=∠ECA=20°，故AE=EC，再由∠ECF=∠EAD=20°，得△FEC≌△DEA，ED=EF，∠FED=∠AEC=60°+80°=140°，∠EDF=20°。

化归

接下来的几种证法都要由20-80-80的其他性质推出，虽然比较繁琐，但不失为利用化归思想进行解题的典范。先介绍引题0和引题1，限于篇幅，略去证明，请读者自己推导.

引题 0

如图，20-80-80 △ABC中，∠DBC= 70°。证明：AD = BC。

引题 1

引题1 ：

△ABC中，AB=AC，∠A=20°，点D、E分别在边AC及AB上，且∠DBC=60°，∠ECB=50°.  证明：∠EDB=30°.

解五：再次全等

将 引题 1 的图形补全（即作∠FBC=50°），由 引题 0 可证得 △AED 与 △CEF 全等，故 ED = EF。由 引题 1，∠CEF = 30°，故 ∠EFD = 50°， ∠EDF = 50°，∠EDB = 50°-30°  = 20°。

解六：相似

将 引题 1 的图形补全（即作∠FBC=50°），可知：∠CEF = 30°，故 ∠EFD = 50°。根据角度推算，△DFB ~ △EFC，故 DF：EF = FB：FC，再由 ∠EFD = ∠BFC = 50°，可知 DFE ~ △BFC，故∠EDF = 50°，∠EDB = 50°-30°  = 20°。

解七：四点共圆证法

将 引题 1 的图形补全（即作∠FBC=50°），记 EC、BD 交于点 O ，由 引题 1，可知 E、O、D、F四点共圆（30° = 30°），O、F、C、B 四点共圆（20° = 20°），故∠EDB = ∠EDO = ∠EFO =∠EFB - ∠OFB = 80° - 60° =20°.

八

   解八：等腰剖分 + 四点共圆

利用 引题 0 对大三角形进行等腰剖分（大家需要把所有角度推算一下），得到点 F ，可知 ∠FEC = ∠BEC = ∠FDC = 40°，故点 E、D、C、F 四点共圆，知 ∠EDF = ∠ECF =10°，又 ∠FDB =10°，故，∠EDB = 10°+10° = 20°.