【2021中考真题24】江西23题——深刻剖析手拉手

纵观各地历年中考试题，哪个模型考频最高？

“手拉手”若排第二，第一就只能空位了。

“手拉手”这个名称很形象，但其着眼点是局部的静止的。

从整体的运动的观点来看，我称之为“一转成双”。

如图，ΔADE∽ΔABC，若把ΔADE绕点A旋转，出现新的ΔABD和ΔACE有什么关系？

由ΔADE∽ΔABC得AD：AE=AB：AC，∠BAD=∠CAE，易证ΔABD∽ΔACE。

可以发现：新得到的ΔABD与ΔACE是由原来的一对相似形ΔADE与ΔABC中对应边AB与AD、AC与AE重新组合而得，在复杂的图形中可以由这一线索寻找新的相似形，即一转成双，由一得二（由一对相似三角形得第二对相似三角形）。

我们用动态视角从“旋转缩放”的角度来看图形的构造过程。

图形可以看成ΔABD旋转并缩放得ΔACE，旋转角为∠BAC，缩放比为AC：AB。

图形还可以看成ΔADE旋转并缩放得ΔABC，旋转角为∠BAD，缩放比为AB：AD。

一对共顶点的相似三角形绕共用顶点旋转可得另一对相似三角形，从而产生丰富的边角关系，故称：“一转成双”。特别地，其中若有一对相似三角形是等腰三角形，则另一对相似三角形全等。

我们以一道2021年中考题为例，用一种思维派生十二种构造方法解决一道题。

【江西省2021年中考卷压轴题第23题】

课本再现

（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与∠A相等的角是      ；

类比迁移

（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作∠CDF=∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是      ；

方法运用

（3）如图3，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC=90°，点O是△ACD两边垂直平分线的交点，连接OA，∠OAC=∠ABC．

①求证：∠ABC+∠ADC=90°；

②连接BD，如图4，已知AD=m，DC=n，AB:AC=2，求BD的长（用含m，n的式子表示）．

【试题评点】

试题从“课本再现”到“类比迁移”到“方法运用”，由易到难，由简到繁，循序渐进，为考生提供了思考台阶和思维路径。

但是，题目中所提供的方法暗示性太强，且思路狭窄所见甚小。

图2，图3，图4几乎一模一样，学生无须深思简单模仿就能解决。

最后一小题，绝大多数学生应该能想到，也是唯一能想到或优先能想到的是下面的构造方法：作∠CDE=∠ABC，CE⊥DE于E.

题目中给出的方法是“角的拼合”，但是，为什么可以拼合？以怎样的方式拼合？拼合以后如何处理？这些问题学生并不能明白，即使他们照猫画虎解出了题目。因为“角的拼合”着眼点仅在两个角，没有从整个图形的大局思考。

从整体上看，题目已知的是ΔABC的形状（即AB、AC、BC的关系已定），要求的是点D到ΔABC的三个顶点距离的关系（即BD与AD、CD的关系）。

以大局观之，即要处理如何把分散的无关联的线段BD、AD、CD和∠ABC、∠ADC进行联系，而“旋转缩放”就是一种把分散边角集中的常用方式。

从哲学思维看，可谓之“孤阳不生，独阴不长”。虽然ΔABC的形状确定已知，但缺少与之相关的三角形之间的联系，故须以AD、BD、CD其中一条线段为边构造与ΔABC形状相同的三角形，形成“一转成双”便可生成新的边角关系。

这种思维就如“见牛郎，思织女”那样自然合理。

另一角度是“穷则思变”“静极生动”或“事物在运动变化中产生联系和相互作用”。既然没有所求线段与已知边角的关系，我们就要发挥主观能动性，把其中的关键图形进行运动变换，使之产生联系。

如下图，以CD为边构造ΔEDC∽ΔABC，从运动变换的角度看即把ΔABC旋转缩放至ΔEDC。

也可看成以AC为边构造ΔACE∽ΔBCD，从运动变换的角度看即把ΔBCD旋转缩放至ΔACE。

重点来了，实际上，解题的具体方法并不是关键，思维方式和思考策略最重要，掌握解题的底层逻辑和根本规律就能发现更多更好的方法。

以上述方式思考，一生二，二生三，生生不息，层出不穷，可得到同类构造方法还有十一种。

方法二：如下图，把ΔABC旋转缩放至ΔDEC。

方法三：如下图，把ΔABC旋转缩放至ΔAED。

方法四：如下图，把ΔABC旋转缩放至ΔAED。

方法五：如下图，把ΔABC旋转缩放至ΔDBE。

方法六：如下图，把ΔABC旋转缩放至ΔEBD。

方法七：如下图，把ΔADC旋转缩放至ΔBDE。

方法八：如下图，把ΔADC旋转缩放至ΔEDB。

方法九：如下图，把ΔADC旋转缩放至ΔABE。

方法十：如下图，把ΔADC旋转缩放至ΔBCE。

方法十一：如下图，把ΔBDC旋转缩放至ΔBAE。

方法十二：如下图，把ΔBDC旋转缩放至ΔADE。

上述十二种构造方法可以用一句话概括：把图中任一个三角形绕任一个顶点旋转并缩放构造“一转成双”，利用角度关系即可得到一个新的直角三角形，再由相似关系和勾股定理求得结果。

学生若能把本题十二种构造方法熟练掌握，即可透彻理解“一转成双”的构造策略及“手拉手”模型的应用原理。

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