Python机器学习算法：线性回归

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线性回归可能是最常见的算法之一，线性回归是机器学习实践者必须知道的。这通常是初学者第一次接触的机器学习算法，了解它的操作方式对于更好地理解它至关重要。

所以，简单地说，让我们来分解一下真正的问题：什么是线性回归？

线性回归定义

线性回归是一种有监督的学习算法，旨在采用线性方法来建模因变量和自变量之间的关系。换句话说，它的目标是拟合一条最好地捕捉数据关系的线性趋势线，并且，从这条线，它可以预测目标值可能是什么。

太好了，我知道它的定义，但它是如何工作的呢？好问题！为了回答这个问题，让我们逐步了解一下线性回归是如何运作的：

  1. 拟合数据（如上图所示）。
  2. 计算点之间的距离（图上的红点是点，绿线是距离），然后求平方，然后求和（这些值是平方的，以确保负值不会产生错误的值并阻碍计算）。这是算法的误差，或者更好地称为残差
  3. 存储迭代的残差
  4. 基于一个优化算法，使得该线稍微“移动”，以便该线可以更好地拟合数据。
  5. 重复步骤2-5，直到达到理想的结果，或者剩余误差减小到零。

这种拟合直线的方法称为最小二乘法。

线性回归背后的数学

如果已经理解的请随意跳过这一部分

线性回归算法如下：

可以简化为：

以下算法将基本完成以下操作：

  1. 接受一个Y向量（你的数据标签，（房价，股票价格，等等…）

这是你的目标向量，稍后将用于评估你的数据（稍后将详细介绍）。

  1. 矩阵X（数据的特征）：

这是数据的特征，即年龄、性别、性别、身高等。这是算法将实际用于预测的数据。注意如何有一个特征0。这称为截距项，且始终等于1。

  1. 取一个权重向量，并将其转置：

这是算法的神奇之处。所有的特征向量都会乘以这些权重。这就是所谓的点积。实际上，你将尝试为给定的数据集找到这些值的最佳组合。这就是所谓的优化。

  1. 得到输出向量：

这是从数据中输出的预测向量。然后，你可以使用成本函数来评估模型的性能。

这基本上就是用数学表示的整个算法。现在你应该对线性回归的功能有一个坚实的理解。但问题是，什么是优化算法？我们如何选择最佳权重？我们如何评估绩效？

成本函数

成本函数本质上是一个公式，用来衡量模型的损失或“成本”。如果你曾经参加过任何Kaggle比赛，你可能会遇到过一些。一些常见的方法包括：

  • 均方误差
  • 均方根误差
  • 平均绝对误差

这些函数对于模型训练和开发是必不可少的，因为它们回答了“我的模型预测新实例的能力如何”这一基本问题？”. 请记住这一点，因为这与我们的下一个主题有关。

优化算法

优化通常被定义为改进某事物，使其发挥其全部潜力的过程。这也适用于机器学习。在ML的世界里，优化本质上是试图为某个数据集找到最佳的参数组合。这基本上是机器学习的“学习”部分。

我将讨论两种最常见的算法：梯度下降法和标准方程。

梯度下降

梯度下降是一种优化算法，旨在寻找函数的最小值。它通过在梯度的负方向上迭代地采取步骤来实现这个目标。在我们的例子中，梯度下降将通过移动函数切线的斜率来不断更新权重。

梯度下降的一个具体例子

为了更好地说明梯度下降，让我们看一个简单的例子。想象一个人在山顶上，他/她想爬到山底。他们可能会做的是环顾四周，看看应该朝哪个方向迈出一步，以便更快地下来。然后，他们可能会朝这个方向迈出一步，现在他们离目标更近了。然而，它们在下降时必须小心，因为它们可能会在某一点卡住，所以我们必须确保相应地选择我们的步长。

同样，梯度下降的目标是最小化函数。在我们的例子中，这是为了使我们的模型的成本最小化。它通过找到函数的切线并朝那个方向移动来实现这一点。算法“步长”的大小是由已知的学习速率来定义的。这基本上控制着我们向下移动的距离。使用此参数，我们必须注意两种情况：

  1. 学习速率太大，算法可能无法收敛（达到最小值）并在最小值附近反弹，但永远不会达到该值
  2. 学习率太小，算法将花费太长时间才能达到最小值，也可能会“卡”在一个次优点上。

我们还有一个参数，它控制算法迭代数据集的次数。

从视觉上看，该算法将执行以下操作：

由于此算法对机器学习非常重要，让我们回顾一下它的作用：

  1. 随机初始化权重。这叫做随机初始化
  2. 然后，模型使用这些随机权重进行预测
  3. 模型的预测是通过成本函数来评估的
  4. 然后模型运行梯度下降，找到函数的切线，然后在切线的斜率上迈出一步
  5. 该过程将重复N次迭代，或者如果满足某个条件。

梯度下降法的优缺点

优点：

  1. 很可能将成本函数降低到全局最小值（非常接近或=0）
  2. 最有效的优化算法之一

缺点：

  1. 在大型数据集上可能比较慢，因为它使用整个数据集来计算函数切线的梯度
  2. 容易陷入次优点（或局部极小值）
  3. 用户必须手动选择学习速率和迭代次数，这可能很耗时

既然已经介绍了梯度下降，现在我们来介绍标准方程。

标准方程（Normal Equation）

如果我们回到我们的例子中，而不是一步一步地往下走，我们将能够立即到达底部。标准方程就是这样。它利用线性代数来生成权重，可以在很短的时间内产生和梯度下降一样好的结果。

标准方程的优缺点

优点

  1. 无需选择学习速率或迭代次数
  2. 非常快

缺点

  1. 不能很好地扩展到大型数据集
  2. 倾向于产生好的权重，但不是最佳权重

特征缩放

这是许多机器学习算法的重要预处理步骤，尤其是那些使用距离度量和计算（如线性回归和梯度下降）的算法。它本质上是缩放我们的特征，使它们在相似的范围内。把它想象成一座房子，一座房子的比例模型。两者的形状是一样的（他们都是房子），但大小不同（5米！=500米）。我们这样做的原因如下：

  1. 它加快了算法的速度
  2. 有些算法对尺度敏感。换言之，如果特征具有不同的尺度，则有可能将更高的权重赋予具有更高量级的特征。这将影响机器学习算法的性能，显然，我们不希望我们的算法偏向于一个特征。

为了演示这一点，假设我们有三个特征，分别命名为A、B和C：

  • 缩放前AB距离=>
  • 缩放前BC距离=>
  • 缩放后AB距离=>
  • 缩放后BC的距离=>

我们可以清楚地看到，这些特征比缩放之前更具可比性和无偏性。

从头开始编写线性回归

好吧，现在你一直在等待的时刻；实现！

注意：所有代码都可以从这个Github repo下载。但是，我建议你在执行此操作之前先遵循教程，因为这样你将更好地理解你实际在编写什么代码：

https://github.com/Vagif12/ML-Algorithms-From-Scratch/blob/main/Linear%20Regression%20from%20Scratch.ipynb

首先，让我们做一些基本的导入：

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom sklearn.datasets import load_boston

是的，这就是所有需要导入的了！我们使用的是numpy作为数学实现，matplotlib用于绘制图形，以及scikitlearn的boston数据集。

# 加载和拆分数据data = load_boston()X,y = data['data'],data['target']

接下来，让我们创建一个定制的train_test_split函数，将我们的数据拆分为一个训练和测试集：

# 拆分训练和测试集def train_test_divide(X,y,test_size=0.3,random_state=42): np.random.seed(random_state) train_size = 1 - test_size arr_rand = np.random.rand(X.shape[0]) split = arr_rand < np.percentile(arr_rand,(100*train_size)) X_train = X[split] y_train = y[split] X_test = X[~split] y_test = y[~split] return X_train, X_test, y_train, y_testX_train,X_test,y_train,y_test = train_test_divide(X,y,test_size=0.3,random_state=42)

基本上，我们在进行

  1. 得到测试集大小。
  2. 设置一个随机种子，以确保我们的结果和可重复性。
  3. 根据测试集大小得到训练集大小
  4. 从我们的特征中随机抽取样本
  5. 将随机选择的实例拆分为训练集和测试集

我们的成本函数

我们将实现MSE或均方误差，一个用于回归任务的常见成本函数：

def mse(preds,y):        m = len(y)        return 1/(m) * np.sum(np.square((y - preds)))
  • M指的是训练实例的数量
  • yi指的是我们标签向量中的一个实例
  • preds指的是我们的预测

为了编写干净、可重复和高效的代码，并遵守软件开发实践，我们将创建一个线性回归类：

class LinReg: def __init__(self,X,y): self.X = X self.y = y self.m = len(y) self.bgd = False
  • bgd是一个参数，它定义我们是否应该使用批量梯度下降。

现在我们将创建一个方法来添加截距项：

def add_intercept_term(self,X):        X = np.insert(X,1,np.ones(X.shape[0:1]),axis=1).copy()        return X

这基本上是在我们的特征开始处插入一个列。它只是为了矩阵乘法。

如果我们不加上这一点，那么我们将迫使超平面通过原点，导致它大幅度倾斜，从而无法正确拟合数据

缩放我们的特征：

def feature_scale(self,X): X = (X - X.mean()) / (X.std()) return X

接下来，我们将随机初始化权重：

def initialise_thetas(self):        np.random.seed(42)        self.thetas = np.random.rand(self.X.shape[1])

现在，我们将使用以下公式从头开始编写标准方程：

def normal_equation(self): A = np.linalg.inv(np.dot(self.X.T,self.X)) B = np.dot(self.X.T,self.y) thetas = np.dot(A,B) return thetas

基本上，我们将算法分为三个部分：

  1. 我们得到了X转置后与X的点积的逆
  2. 我们得到重量和标签的点积
  3. 我们得到两个计算值的点积

这就是标准方程！还不错！现在，我们将使用以下公式实现批量梯度下降：

def batch_gradient_descent(self,alpha,n_iterations):        self.cost_history = [0] * (n_iterations)        self.n_iterations = n_iterations        for i in range(n_iterations):            h = np.dot(self.X,self.thetas.T)            gradient = alpha * (1/self.m) * ((h - self.y)).dot(self.X)            self.thetas = self.thetas - gradient            self.cost_history[i] = mse(np.dot(self.X,self.thetas.T),self.y)        return self.thetas

在这里，我们执行以下操作：

  1. 我们设置alpha，或者学习率，和迭代次数
  2. 我们创建一个列表来存储我们的成本函数历史记录，以便以后在折线图中绘制
  3. 循环n_iterations 次，
  4. 我们得到预测，并计算梯度（函数切线的斜率）。
  5. 我们更新权重以沿梯度负方向移动
  6. 我们使用我们的自定义MSE函数记录值
  7. 重复，完成后，返回结果

让我们定义一个拟合函数来拟合我们的数据：

def fit(self,bgd=False,alpha=0.158,n_iterations=4000): self.X = self.add_intercept_term(self.X) self.X = self.feature_scale(self.X) if bgd == False: self.thetas = self.normal_equation() else: self.bgd = True self.initialise_thetas() self.thetas = self.batch_gradient_descent(alpha,n_iterations)

在这里，我们只需要检查用户是否需要梯度下降，并相应地执行我们的步骤。

让我们构建一个函数来绘制成本函数：

def plot_cost_function(self):        if self.bgd == True:            plt.plot(range((self.n_iterations)),self.cost_history)            plt.xlabel('No. of iterations')            plt.ylabel('Cost Function')            plt.title('Gradient Descent Cost Function Line Plot')            plt.show()        else:            print('Batch Gradient Descent was not used!')

最后一种预测未标记实例的方法：

def predict(self,X_test): self.X_test = X_test.copy() self.X_test = self.add_intercept_term(self.X_test) self.X_test = self.feature_scale(self.X_test) predictions = np.dot(self.X_test,self.thetas.T) return predictions

现在，让我们看看哪个优化产生了更好的结果。首先，让我们试试梯度下降：

lin_reg_bgd = LinReg(X_train,y_train)lin_reg_bgd.fit(bgd=True)mse(y_test,lin_reg_bgd.predict(X_test))OUT:28.824024414708344

让我们画出我们的函数，看看成本函数是如何减少的：

所以我们可以看到，在大约1000次迭代时，它开始收敛。

现在的标准方程是：

lin_reg_normal = LinReg(X_train,y_train)lin_reg_normal.fit()mse(y_test,lin_reg_normal.predict(X_test))OUT:22.151417764247284

所以我们可以看到，标准方程的性能略优于梯度下降法。这可能是因为数据集很小，而且我们没有为学习率选择最佳参数。

未来

  1. 大幅度提高学习率。会发生什么？
  2. 不应用特征缩放。有区别吗？
  3. 尝试研究一下，看看你能不能实现一个更好的优化算法。在测试集中评估你的模型
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