概率统计专题44:特殊赋值 - 二项式定理赋值求系数
概率统计专题44:特殊赋值 - 二项式定理赋值求系数
赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值,从而达到便于解决问题的目的.实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想,在高考题中屡见不鲜,特别是在二项式定理中的应用尤为明显.二项式定理在高考中一般以小题形式出现,分值为5分,常考的题型为求二项展开式某一项的系数或者系数和的问题.
(
·浙江卷·12)二项展开式
,则
______;
______.
【答案】 80; 122
【解析】二项式
展开式的通项为
,令
,则
,故
.
当
时,
,①
当
时,
.②
①
②得,
,
可得
.
故答案为:80;122
【点评】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题,利用二项式展开式的通项公式直接可求
,通过将
赋值为
,联立方程组可求出
的值.考查学生的数学运算能力,是一道基础题.
1.含变量的恒等式:是指无论变量在已知范围内取何值,均可使等式成立.所以通常可对变量赋特殊值得到一些特殊的等式或性质.
2.二项展开式与原二项式呈恒等关系,所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数(或二项式系数)的等式.
3.赋值法普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如
,
的式子求其展开式的各项系数之和,常采用赋值法,只需令
即可;对形如
的式子求其展开式的各项系数之和,只需令
即可.应用这一思想和方法是解决二项展开式中系数和的基本思路,也是证明有关组合数恒等式的方法.
常用赋值举例:
(1)设
,
①令
,可得
;
②令
,可得
;
③令
,可得各二项式系数的和
;
④令
,可得
,
即
结合③可得
,
即奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等都等于
.
(2)设
,
①令
,可得展开式中的常数项
;
②令
,可得展开式的各项系数的和
;
③令
,可得偶次项系数的和与奇次项系数的和的差
;
由②③即可求出偶次项系数的和
和奇次项系数的和
的值.
1.(2019广东广州一模)
的展开式的各项系数和为32,则该展开式中
的系数是( )
A.5
B.10
C.15
D.20
2.(原创)设
,则
__________;
__________.
3.(原创)多项式
,若
,则
__________.