将心中的数学画出来

将心中的数学画出来——低年级“数学画”教学探索与思考

合肥市南门小学上派分校  陈昱

数学画

儿童视角,数学眼光

缘起

2014年9月本人接手一年级一个班的数学教学,发现低年级儿童对数学文本的认读和理解比较困难,而借助图画可以帮助儿童学习数学,并能使其爱上数学、探究数学,很好地发展数学思维,于是我尝试进行“数学画”教学,取得意想不到的教学效果。随后,作为教学副校长和肥西县小数名师工作室领衔人,我将“数学画”教学尝试和思考与本校和工作室老师交流分享,共同开展“数学画”教学研究。一年半的尝试、反思、实践、研讨,我们逐渐积累了一些实践经验和理论思考;但是由于一线教师理论基础薄弱, 科研水平有限,往往是“用好,就是说不好”,“数学画”又是一种新的教学尝试,没有现成的参考模式,只能在此作一个粗浅的梳理,更完善的总结阐述有待于实践研究的进一步深化。(注:本文成稿于2015年底,2017年修改后发表于《云南教育-小学教师》,这里呈现的是原生态模样)

什么是数学画

简而言之,即儿童运用直观之“形”表征抽象之“数”,从而帮助理解数学概念、解决数学问题、发展数学思维的一种数学学习(教学)方式,其立足点是儿童认知特点和数学学科本质。所以说,“数学画”教学既有儿童趣味,又深蕴数学真味,是引导儿童认知逐渐“数学化”的过程。

壹、“数学画”的形态

回顾“数学画”教学探索的历程,一年级上学期主要是“画数学”:鼓励儿童将学习的数学知识画出来;一年级下学期后开始“画思路”:通过画思考过程厘清题意和数量关系,辅助解决数学问题。这两种形态的“数学画”一开始都是以实践作业(及其展评课)的形式成为数学课的有益补充。二年级以后我们开始有意识开发“数学画”创意课程,并付诸课堂教学。(注:“数学画”的形态除了本文论及的“画数学(概念)”、“画思路”,还有“画题意”、“画绘本”、“画结构”等。)

图1:0

图2:1-5

(一)画数学,促进概念理解

1.画“数”

在第一学期起步阶段,我们只是要求孩子“画出心目中的数学”,比如:学习了自然数的认识,孩子回家画出自己心目中的“数”。从孩子们的画作看,只有个别孩子表现的是“数像什么”(图1),或者将数字拟人化(图2),大多数孩子都画出了“数是什么”(图3-图9),少数用同一幅画既表示出“数像什么?”又表示出“数是什么?”(图6)。有一个孩子一口气画出6种不同场景表示“0”,既有“1个也没有”、也有“起点”的含义,生动活泼、极富想象力和童趣(图7)。

图3:1-5

图5:0

图4:0

图6:0

图7:0,图8、9:第1-5

2.画“生活中的数学”

国庆节假期孩子们观察生活,画出“生活中的数学”,很有意思,每幅画都是儿童视角下的多彩数学,比如(图10-图13):

3.画加减法

后来,孩子们逐渐学会用简单的数学符号表达数学含义,画加减法的算式意义。在不断进步的同时,他们渐渐形成了自己的“数学画”风格,这可以从画连加、连减的画作对比中清楚分辨(组图1-组图7)。

(二)画思路,辅助问题解决。

到了一年级下学期,孩子们已经会用“数学画”辅助解决一些思考题,也就是画出问题的思路。我们深刻感受到,“数学画”不仅因其形象直观、富有童趣而被孩子们广泛喜爱和接受,更重要的是通过数形结合,特别是几何直观,将比较复杂、困难的问题变得简单、容易,能够培养学生有序思考、大胆猜想、勇于尝试、逐步抽象等能力,成为学生学习数学的思维拐杖。

1.送给小明多少支彩笔?

2.这幢楼一共有几层?

贰、“数学画”的特点

(一)“数学画”回归儿童视角。

心理学研究﹝1﹞表明,7-8岁是儿童概念性工具发展的一个决定性转折点,这个阶段的儿童的运演已经不再受自我中心和中心化的影响,逐渐具有可逆性、守恒性以及依赖于实物的整体性,处于这一阶段的儿童很难回答“a比b长,b比c长,谁最长?谁最短”的问题,但借助实物就可以回答。我们在实践中发现,图画可以达到实物同样的效果。“数学画”教学契合了低年级儿童认知规律,让我们的数学教学回归儿童视角,更有利于儿童的数学学习。

发现儿童是教育的前提,是教育成功的密码,也是教师的最高境界,“课程的方式应该是儿童的生活方式﹝2﹞”。小学数学教学应该回归儿童视角,鼓励儿童用自己喜欢的方式学习数学。儿童是天生的画家,几乎每个孩子都喜欢涂鸦,当他们用动物、植物、人物、景物乃至简单的图形、符号等这些自己熟悉的形象表达自己所理解的数学知识时,他们的心情是愉悦的,思想是自由的。

孩子们创作的一幅幅数学画满蕴浓浓的儿童趣味:在儿童眼中,数学不是灰色的、枯燥的,而是彩色的、有趣的;数学不是冰冷的、生硬的,而是温暖的、丰润的。小学数学教学只有回归儿童视角才能走向高效。

(二)“数学画”尊重个性差异。

我们认识并充分尊重儿童在数学学习上的差异性,允许他们在各自的学习基础上、从已有经验出发、采用自己擅长的方法学习数学、表现数学、解决问题,尤其强调独立思考,并在自我反思和同伴交流中不断进步。下面以《豆豆在哪儿》为例具体说明:

1.尊重学生思维的层次性差异。

针对配套练习册问题:27个小朋友排成一排,豆豆排在正中间的位置,从左往右数,豆豆排第( );从右往左数,豆豆排第( )。每位学生都能通过“数学画”解决问题,作品呈现出多种思维层次,大体可分成两大类:(1)将27个人(也有用毛毛虫、苹果等代替)一个一个全部画出来的;(2)只画出部分人的。

第1类也分为不同的层次:①仅仅画出27个并指出豆豆位置的,举例:

②标有相关数字和箭头等符号表明思路的,举例:

③图文并茂,专门用文字和算式说明思路的,举例:

第2类蕴含的数学思考更加丰富和有价值,反映的数学思维更有品质。表面上看,好像不如第1类完整美观,但只要问问小作者是怎么想的,立马令人惊喜!举例:

生1:我画了7个后不够画了,我不想重画,就想啊想,还剩20人,心里知道每边站10人,所以豆豆在从左往右第14个,从右往左也是第14个。

生2:因为27太多了,画不下。我想,27里有20和7,20是双数,很好分;7是单数,不好分;只要把7分好就行了!

生3:27人太多了,画不下,我就画个长方形表示10人,两边就是20人,剩下的一边一个分,21、22、23、24、25、26,正好分完,最后第27个不能分,放在中间,就是豆豆。

2.尊重学生思维的形象性差异。

低年级儿童在用“数学画”解决问题过程中,启动其形象思维,会根据自己的生活经验和喜好赋予数学抽象以个性化的直观形象,让儿童的数学思考附着在具体物象上,帮助儿童理顺问题的内在关系,解决问题。所以同样的问题,甚至同样的思维层次,展现的形象却各不相同。有人物、苹果、篮球、毛毛虫等,也有简化小人、几何图形等,形象各异。

(三)“数学画”培育数学眼光。

邱学华先生说过:小学数学有两个姓,一姓“小”,一姓“数”﹝3﹞。“小”,其实就是指小学数学是儿童数学,要有儿童趣味;“数”,指的是小学数学的“数学本质”、“数学真味”,应该培养学生的数学素养。“数学画”具有较浓儿童趣味的同时,也有利于培育儿童的数学素养。在明艳的外表下,“数学画”具有坚固的数学内核:

“数学画”的内容是数学知识。

1.“数学画”的内容是数学知识。

第一种“数学画”是表现数学知识的,它的内容无疑是数学知识;第二种“数学画”是通过画思路厘清数量关系从而解决问题的,其内容也离不开数学知识。

“数学画”的形式逐渐数学化。

2.“数学画”的形式逐渐数学化。

“数学画”的表现形式是图画,一开始孩子通过具体的物象表现数学概念,因为是课后作业时间充足,很多作品画得色彩明丽、线条细腻、形象生动,非常美观,不亚于一般的美术画——这也从另一个侧面反映出低年级学生乐于绘画,“画数学”比“写作业”对他们更具吸引力。

随着学习的推进和展评课的引导,“数学画”中“非数学”成分逐渐减少,我们有意识地引导孩子在创作中运用箭头、省略号、问号、括线、虚线、圈线、几何图形以及算式等数学符号,尽量用几何图形等代替具体物象,绘制物象时力求简洁,逐渐数学化。一年级下学期解决问题的“数学画”已经是简洁的示意图了。

学生在成长,数学学习在深入,“数学画”也将不断发展变化,中高年级的“数学画”将渐变成“示意图”、“线段图”、“知识结构图”等形态。我们还将尝试开发“数学画”校本教材,以便“数学画”教学的常态化,使之发挥更大作用。

“数学画”蕴含丰富的数学思想。

3.“数学画”蕴含丰富的数学思想。

从上面的画作和案例中不难得出:“数学画”教学有利于培养学生的符号思想和符号意识、数形结合思想和几何直观、对应思想、推理能力、应用意识、空间观念等等,不再赘述。名师吴正宪曾指出:有些学生在看到别人用画图法轻松化解难题时,觉得这种策略简便实用,不过他们同时感叹:这样好的方法,我为什么想不到呢?——画图、几何直观、数形结合等这些策略、方法、思想需要从低年级开始渗透培养。“数学画”教学能达到从起始年级起渗透数学思想方法、培养学生诸多数学核心素养的目的。

(四)“数学画”鼓励想象和创新。

创新意识的培养是现代数学教育的基本任务,应体现在数学教与学的过程中﹝4﹞。古希腊哲学家亚里士多德认为:想象力是发明、发现及其他创造活动的源泉;中国学者吴克杨说:想象力不是生来就有的先天素质,而是后天开拓的结果,它是完全能够培养的一种能力。“数学画”教学有利于培养学生的想象力和创新意识。

1.先想后画——留给儿童自由想象的空间。

“数学画”落笔之前需要思考,所以一直多以家庭作业方式出现,而且不设限制,鼓励孩子“想怎么画就怎么画”,只需围绕主题(某个数学知识或数学问题)即可,留给孩子充分的思考时间和想象空间。思考的自由避免了思维的束缚,激发了想象的力量,为孩子们的创造打开大门。

2.边想边画——引导儿童借助图画辅助思考。

对儿童而言,“数”是抽象的、难以理解和把握的;“形”是直观的、容易理解和探索的。数形结合的画图策略既可以帮助儿童理解数学概念,又可以辅助儿童分析数量关系、解决数学问题。

在画图分析的过程中,几何直观发挥巨大作用,形象直观的“形”能有效促使儿童思考和发现,找到创造性思维的生发点,给予他们无穷的启示。儿童就在这样边想边画、边画边想中体会数学的本质、寻得问题的解决方法。

3.画过再想——教会儿童提升数学思维。

教学实践表明,对某一知识和问题的反思整理有助于儿童从整体上把握分析问题、解决问题的方法,从而有机会超越方法产生策略,感悟数学思想,提升创造能力;而欣赏和评价同伴作品则能给予儿童很好的启发,促使其优化思考。“数学画”展评便具有这样的作用:

(1)在推介画作中整理思路、完整表达,使思路和理解更清晰更深入。

(2)在欣赏评价他人画作中反思借鉴,使思考更全面更优化。

(3)在改进画作中体会进步,使思考更积极更愉悦。

“数学画”沟通抽象与具象,打通已知与未知,连接生活与数学,鼓励和培养儿童的创造性思维,儿童在“数学画”教学过程中不断增进多种能力,最终使创新成为可能。

“数学画”中绚丽的色彩、变化的形象都是儿童丰富想象力的表现,我们并没有因其“失真”或不够数学化而加以批评,代之以尊重基础上的引导,增进数学思维的同时尽可能满足儿童的心理需求。

叁、“数学画”的课堂展评

作为数学实践作业,“数学画”的课堂展评很重要。以第一种形态的“数学画”为例,“画数学”只是手段和方式,目的是促使学生深刻理解数学知识、准确掌握数学概念。这样的教学目标除了有赖于学生课堂上对数学知识的学习,有赖于课后在理解数学知识基础上的再创造,还要靠“数学画”展评课来引导和落实。

“数学画”展评课的大体流程是:1)教师选择典型“数学画”课堂分层交流;2)小作者推介画作;3)学生提问和评议,教师点拨和引导,小作者回答和改进。具体来说,“数学画”展评课要做好三件事:

1.分享“我画的是什么?为什么这么画?”

在“数学画”的课堂展示中,首先请作者说说“我画的是什么?为什么这么画?”,从而了解作者对于所画数学知识的理解情况,教师可以有针对性地加以提问和引导,力求突破学生的认识困难,扫清学习障碍,深化概念理解。

图12:生活中的数学

有些画作,只有听了作者的解说,我们才能看懂。比如图13,这是一位小男孩的作品,画的是他和爸爸在洗澡,老师问:“画得不错,可是这里有数学吗?”男孩立即高声答道:“有数学呀!老师,你不知道我爸爸是怎么洗澡的?”老师捂嘴笑:“那我哪知道啊?”小男孩也得意地笑:“我爸爸可牛了!每次洗澡都带我做'洗澡操’——1、2、3、4,2、2、3、4……”边说边比划着搓澡动作……不用我多说了,孩子们眼中的数学是多么鲜活多么有趣啊!

有的画作包含着小作者没有意识到的数学含义,需要老师点拨。比如图28,小作者只提及楼房按照从高到矮可以排出第1-第5,老师可以顺势追问:“你是从高到矮排的,还可以怎么排?”“除了按高矮排,还可以按什么排?”启发学生灵活思考:还可以从矮到高排序,也可以按照从左到右或从右到左的位置顺序排序等。

图28

图29:第1-5

有的画作容易引起学生对数学知识的误解,需要老师“反例正用”。比如图29,小作者解说中序数第1-第5(花瓶从左往右顺序)正好对应着基数1-5(花瓶中花儿的朵数),容易造成思维定势,老师可以作如下处理:

①追问:那从右往左数,第1-5分别在哪?

②拿掉其中第4个花瓶里的1朵花,问:从左往右数它还在第4个吗?为什么?

③打乱花瓶的位置,比如将一开始第2瓶花移到最后,问:现在它排第几?

④小组讨论:刚才按位置排序,插2朵花的花瓶有可能在第2,有可能不在第2;如果要使插2朵花的花瓶不论怎么数都是第2个,应该按什么排?(按花的数量从少到多排)

2)欣赏“他画的是什么?可不可以这么画?”

同样的数学知识,不同学生理解不同、表达也不同。相互交流作品,多元表征,利于学生全面认识数学概念。

数字“0”,甲同学:1杯果汁喝完,是0杯;乙同学:2只小鸟从树上飞走,是0只;丙同学:5个苹果全部落下,树上是0个苹果;……让学生思考:“他画的是什么?可不可以这么画?”让学生认识:原来0还可以这样画!

学生间互动分享,可以相互补充、相互启发。比如在展评课上,为了引导孩子们增进概念理解和数学思考,我和孩子们展开互动:

图30:第1-5

师(问图30小作者):你的画里有第1-5吗?在哪呢?看不懂哦!

还没等他回答,同桌站起来了:我知道!房顶有5层,我来指给你们看!(自告奋勇地上台,从上向下一路指)第1、第2、第3、第4、第5。

小作者笑了:可是我画的是从底下往上面第1-5层。(台上的立马尴尬)

师:那他指错了?这样数出第1-5行吗?(短暂的沉默)

小作者:也行!从下往上数和从上往下数出来的不一样。

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