业余数学家再次称王|翻转棋玩家用休息时间在有60余年历史的染色问题上取得重大突破

一 聊聊业余数学家

科学家成为职业其实不到几百年，数学家成为一个职业也是如此。历史上著名的业余数学家之王是费马。费马是一个法官，但在微积分的发展早期起来很重要的作用，例如，可微函数的极值点的必要条件是函数在这个点的导数为0，就被称为费马定理。费马在概率论方面也是奠基人之一。

延伸阅读：严重推荐最好的介绍费马大定理的视频

又如，在数学方面很强的，莱布尼兹的老师惠更斯本人是个外交家。但惠更斯在数学方面，如等时线方面有突出的贡献，从而使得他能够设计出实用的时钟。

然而，后来数学家逐渐成为一个职业。不但数学专业化了，全能的数学家也越来越少。庞加莱就被认是最后一个全能的数学家。

这也就是说，没有受到过专业训练的人，要想取得数学发现，是越来越难了。

但也有例外。

例如，历史上有一个被写入数学史的家庭主妇。

20世纪70年代，没有数学背景的家庭主妇马乔里·赖斯（Marjorie Rice）通过《科学美国人》上的专栏了解到平面平铺问题。她最终得到了四个新的可用于平铺的五边形，由此进入数学史。

主妇发现的5边形之一

参阅在平铺问题方面的一个专家：不仅是霍金的合作者：同样令公众着迷的彭罗斯爵士

本文要介绍的一个例子，就是一位业余数学家在一个有60多年历史的问题上的突破。

（亲爱的读者，为了生存，放下广告，谢谢您的理解和支持。）

二 60多年历史的着色问题

1950年，时为芝加哥大学生的Edward Nelson提出了一种看似简单的问题。但这个问题最终让数学家们花上了几十年的时间。

Nelson的问题是：考虑一个图——即一些点（称为顶点）和点之间的连线（称为边）组成的集合。要求所有的连线长度相同，且在同一个平面上。现在为所有点着色，并且任意两个相邻的点的颜色不同。

Nelson问道：为了给任何这样的图着色，即使是有无限多顶点的图着色，你最少需要多少种颜色？

（这非常类似于平面上的地图染色问题！后文介绍四色定理）

读者可以看看下面简单的图。

这个问题现在被称为Hadwiger-Nelson问题。

许多数学家都对这个问题产生过兴趣兴趣，包括著名多产的传奇数学家Paul Erdős。

在大部队的强攻下，研究人员迅速缩小了可能性，发现无限图最少需要4个颜色，最多需要7个。

其他研究人员继续在随后的几十年中证明了一些部分结果，但没有人能够改变这些界。

图论中的问题和数论中的问题类似，许多问题很容易明白，但证明却很难。

三 突破

4月8日，生物学家奥布雷·德格雷（Aubrey de Gray）在预印本网站arxiv.org上发表了一篇论文。

The chromatic number of the plane is at least 5

Aubrey D.N.J. de Grey

(Submitted on 8 Apr 2018 (v1), last revised 11 Apr 2018 (this version, v2))

We present a family of finite unit-distance graphs in the plane that are not 4-colourable, thereby improving the lower bound of the Hadwiger-Nelson problem. The smallest such graph that we have so far discovered has 1581 vertices.

文章题目是“平面色数最少为5“。在这篇文章中，他描述了一种距离图的构造，不能用四种颜色着色。

这一发现代表了自该问题被提出以来解决问题的第一个重大进展。 “我非常幸运，”格雷说。

四 生物学家是黑白棋高手，以数学为休息

德格雷似乎是一个不太可能的数学开拓者。他是一个组织的联合创始人兼首席科学官，旨在开发技术以“扭转衰老的负面影响”。他通过棋盘游戏找到了平面问题的色数。数十年前，德格雷是一名有竞争力的黑白棋选手，并且与一些热衷于比赛的数学家一起参加比赛。他们向他介绍了图论。 “有时候，当我真的需要休息时，我会考虑数学，”他说。去年圣诞节期间，他有机会这样做。

这位生物学家曾在TeD演讲人的衰老问题，说今天还活着人将会活到1000岁。

传送门：//v.youku.com/v_show/id_XMzQ5NDA3Njky.html

五 怎样的例子

也许最着名的图着色问题是四色定理。它规定，假设每个国家都是一个连续的块，任何地图都只能使用四种颜色着色，因此没有两个相邻的国家具有相同的颜色。这些国家的确切大小和形状并不重要，所以数学家可以将问题转化为图论的世界，如果相应的国家共享一个边界，则将每个国家都表示为一个顶点，并将两个顶点与一个边连接起来。

Hadwiger-Nelson问题有点不同。它不考虑有限数量的顶点，就像在地图上一样，它会考虑无限多的顶点，每个顶点都有一个顶点。如果两个点恰好相隔一个单位，则两个点通过边相连。要找到色数的下限，只需创建一个具有有限数量顶点的图，即需要特定数量的颜色。这就是格雷所做的。

德格雷利用了以数学兄弟Leo和William Moser的名字命名的一个例子——Moser spindle。 它是一个只有7个点和11个边的配置，其色数为4。 通过一个微妙的过程，并以最少的计算机辅助，de Gray将Moser spindle和另外一些点融合成一个20,425顶点的怪物，这些怪物无法用四种颜色着色。 他后来能够将图形缩小到1,581个顶点并进行计算机检查以确认它不是四色的。

1581个顶点的例子（不能用4种颜色）

任何需要五种颜色的图的发现都是一项重大成就，但数学家希望看到他们是否能够找到一个能够做到这一点的小一点的图。也许找到一个更小的五色图或者最小的五色图可以让研究人员更深入地了解Hadwiger-Nelson问题，从而使他们能够证明恰好有五种颜色（或者六种或七种）的图。

六 数学家的协作“众筹”

数学工作在取得突破往往会出现一泻千里的进展。张益唐的研究工作就曾这样引发过很多人的工作。

De Gray将问题转给加州大学洛杉矶分校数学家Terence Tao，后者将可否找到更小的图作为一个潜在的Polymath问题。

Polymath大约在10年前就开始了，当时剑桥大学的数学家Timothy Gowers想找到一种方法来促进大量数学家在线合作。 Polymath问题的工作是公开完成的，任何人都可以做出贡献。

最近，德格雷参与了Polymath的合作，导致孪生素数取得重大进展。

这是由张益唐引发的研究：参 清歌如烟 我的哥哥我的家|张益唐的妹妹首次感人披露其家庭

陶说，并非每一个数学问题都适合Polymath，但是de Grey's的问题合适。这个问题很容易理解并开始研究，并且有一个明显的成功标准：降低非四色图中顶点的数量。很快，俄亥俄州立大学数学家Dustin Mixon和他的合作者鲍里斯·阿列克谢耶夫发现了一个有1577个顶点的图。接着，德克萨斯大学奥斯汀分校的计算机科学家Marijn Heule发现一个只有874个顶点的图。昨天他把这个数字降低到了826个顶点。

826个顶点的图（不能用4种颜色）

七 启示

对于一个业余数学家来说，在一个长期悬而未决的问题上取得重大进展是非同寻常的，但并非前所未有的。

这给众多非数学专业者带来了激励。

耶路撒冷希伯来大学的数学家吉尔·卡莱（Gil Kalai）说，看到一位非专业数学家取得重大突破是令人欣慰的。 “它确实增加了数学经验的许多方面，”他说。

同时，这项工作激发了人们对这个问题的兴趣，或许不久的将来可以完全解决这个染色问题。