当前数学课改中的一些问题

章建跃

一、关于课程目标

数学教育目标，以往的“教学大纲”是从基础知识、基本技能、能力（思维能力、运算能力、空间想象能力，分析和解决实际问题的能力）、个性品质和辩证唯物主义观点等几个方面作出规定，现在的“课程标准”从“知识与技能”“过程与方法”“情感态度价值观”作出规定。两者比较来看，“课程标准”提得比较中性，数学学科的目标可以这样提，其他学科的目标也可以这样提；“教学大纲”更加注重从数学的学科特点出发，具体反映数学在学生发展中所具有的、其他学科不能替代的作用，因此对数学教学的指导性更强，更有利于教师在教学实践中把握，操作性也更好些。另外还应注意到，“三维目标”的科学性值得探讨。当代认知心理学认为，“方法”也是知识，把“方法”从知识中独立出来缺乏科学依据。重视“过程”是对的，但把它与“方法”并列在一起作为课程目标的一个维度，有失偏颇。实际上，“过程”应当指达到数学教育目标的过程，例如，学生掌握“双基”的过程，数学能力形成的过程，等等。具体体现在两个方面：一是数学知识的发生发展过程，二是学生的思维过程。重视“过程”，对教师而言，就是要根据学生的思维规律，通过“再创造”来“再现”知识的原发现过程，即按照知识的原发展线索，复现知识的探究过程：知识结构的建立和扩展过程；值得研究的问题及其研究方法的提出过程；数学概念、公式、定理等的归纳、概括和证明过程；解题思路的探索过程；解题方法的猜想、尝试和形成过程；等等。对学生而言，则要加强对数学概念和原理（定义、定理、公式、法则等）的概括过程。一般来说，学生的思维总是从具体到抽象，由此及彼、由表及里，从个别到一般，从片面到全面，其中，类比、联想、特殊化、推广等是主要的逻辑思考方式。所以，数学教学中，应当根据学生的数学思维规律，通过丰富的、具有典型性的素材，引导学生进行充分的类比、联想、特殊化和推广等思维活动，经历概念的归纳和概括过程。从思维发展心理学的观点看，“过程”的核心是“让学生经历数学概念的概括过程”。因为“概括是在思想上将许多具有共同特征的事物，或将某种事物已经分离出的一般的、共同的属性、特征结合起来。概括的过程，就是把个别事物的本质属性推及为同类事物的本质属性。这个过程也就是思维由个别通向一般的过程。”数学学习的过程就是一个概括过程，应用数学知识解决问题也是一个概括过程。学生从认识具体数学事例的感知和表象上升到对数学概念本质的理解，主要通过抽象与概括来实现。没有概括，学生就不能掌握和运用知识；没有概括，学生就不可能形成概念，从而由概念所引申的定义、定理、公式、法则等就不可能被学生掌握；没有概括，学生的认知结构就无法形成。因此，概括水平成为衡量学生思维发展水平高低的等级指标，思维能力通过概括能力的提高而得到显现。另外，作为课程目标，应当有客观的、可以界定的评价标准。由于“过程”可以因人而异，不同人的“过程”肯定不同，“过程”的优劣没有客观标准，是否达标就很难把握。把“过程”纳入到目标范畴，会造成教学评价中的相对主义，这也是一段时间以来流行“只要经历了过程，形成对知识的体验就可以，落实下来一点什么不重要，学到多少知识不重要”的主要原因。

二、数学课程内容──保持高标准还是降低标准

一段时间以来，“大众数学”的口号在世界上被广泛宣传，而且被用来指导数学课程改革。因为讲平等，要让所有人都有机会学习数学，因此降低数学课程内容难度成为世界改革的潮流。但随着改革的深入，人们发现为了使数学能被一般大众所接受而简单地降低内容难度，不但没有提高大众的数学水平，反而导致大众数学水平的整体下降。显然，数学课程不能以人人学会作为设置理念，否则将是没有终点的退却。美国在倡导“大众数学”后，数学教育质量严重滑坡，学生在国际测试中不能令人满意的表现，大众数学水平的整体下降，引起一些有识之士的担心。全美数学教师联合会在2000年4月出版的课程标准修订版中，明确提出了“公平需要对所有学生都有高要求并提供均等且优良的机会”。所以，“大众数学”不能以降低标准为代价，“公平”既表现在（高）标准的一致上，也表现在优良学习机会的一致上。心理学的研究表明，对学生学习相对高深内容的期待，对培养学生的数学学习兴趣、增强他们的自信心有重要影响，因为人都有一种不甘示弱、接受挑战的心理倾向。如果认为必须降低内容水平才能适应学生的学习能力，这种心理暗示将使我们的下一代畏惧数学（他们会认为“我反正学不了，所以我也不必付出努力”），成为低要求的受害者。值得注意的是，要明确“高标准”的含义。例如，我们不能认为要求学生理解用“关系”语言表述的函数概念就是高标准。只有符合学生认知发展水平、学生经过真正的努力能够达到的要求，才是“高标准”。课堂教学中，教师应当通过适当的方式让学生知道对数学学习的高标准。例如，不断地向学生提出有挑战性的学习任务；要求学生不仅记住事实和操作步骤，而且要思考并理解其原理；鼓励学生独立解答问题，探索用不同途径解答问题，并愿意坚持不懈地做出努力；出现错误时，要求学生不是改正答案了事，而是要思考出现错误的原因，善于从错误中学习；启发和鼓励学生使用类比、推广、特殊化等逻辑思考方法，自己尝试得出一些数学结论；经常要求学生反思自己的学习过程；等等。

三、“螺旋上升”的原则──这个螺旋该多大

为什么要螺旋式安排数学内容及其学习过程？主要还是考虑与学生心理发展水平相适应的问题，因为“学习从属于发展”。同时，数学概念可以在不同层次上得到表征，也为螺旋上升地安排学习内容提供了可能。例如，函数概念，可以直观地用描述性语言表征（初中阶段），也可以用集合与对应的语言表征（高中阶段），还可以用关系语言来表征（大学阶段）。如果学生的心理发展水平不够，还没有能力认识更多的细节、更本质的内涵，这时要采用螺旋式；如果学生的能力已经达到了，就不应人为割裂认识的链条，更何况“学习能够促进发展”。教学既要与学生思维发展水平相适应，又要尽最大努力将思维的“最近发展区”转化为“现实发展水平”。心理学研究表明，人的智力与能力发展具有年龄特征。小学阶段处于从具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段；整个中学阶段以抽象逻辑思维占主导地位，但初中阶段主要是以经验型为主的抽象逻辑思维，高中阶段主要是以理论型为主的抽象逻辑思维。其中，小学四年级（10~11岁）是从以具体形象成分为主要形式到以抽象逻辑成分为主要形式的转折点；初中二年级（13~14岁）是从经验型向理论性发展的开始；高中二年级前后（16~17岁），思维和智力发展基本成熟。显然，智力与能力发展的年龄特征，是考虑螺旋上升安排教学内容的主要依据。课程设计、教材编写以及课堂教学都要考虑年龄特征问题，根据学生发展的可能性，对学生提出适当的学习要求。不过，另一方面，我们应采取积极措施推动学生的发展，迁就学生的智力与能力水平，不积极地引导学生发展也是不正确的。正如陈省身先生说的，“学生习惯于算而不习惯于推理。我们不能因为有这个困难而把它（指推理）丢掉。正是有困难，才需要我们去教。”因此，螺旋上升地安排教学内容，也有一个适度的问题。结合心理学成果及教学实践，从数学是一门逻辑性很强的学科，中学生已经有较高的逻辑思维发展水平，以及学生思维活动的连续性等方面考虑，我们认为，中学生有能力在一个相对连贯的系统中学习和掌握中学课程中的大部分内容，不需要人为地设置“螺旋”。特别是在中学，不应再在初中、高中两个阶段内再搞几个小螺旋。例如，平面几何内容不应把“实验”和“论证”分开，搞“通过实验获得一个猜想，逻辑证明且听下回分解”；解析几何也不要分为“必修”（直线和圆）和“选修”（圆锥曲线）；统计、概率的内容，从小学到中学搞四、五个循环更是没有必要。在学习内容的安排中，重要但一直没有很好解决的是加强不同内容之间的联系性问题。数学学科的特点是不同分支有一定的独立性，但同时又有内在的紧密联系。代数、几何、统计、概率以及离散数学之间是相互联系的，而且数学概念可以用多种方式予以表达。建立这种联系性是数学教学的重要任务，也是“螺旋上升地认识数学概念”的要义之一。例如，比例关系的研究，在比和比例、百分数、比例尺、相似形、线性方程、斜率、统计图表、频率与概率等不同方面都可以得到认识。当我们利用基本的几何概念（如相似）和代数概念（如线性关系）来引入比例概念时，学生对比例关系的理解就会更深刻。顺便提一下，加强“联系”可以有不同的方式。例如，我们可以在一个有意识地将不同分支串联在一起的知识系统中，为学生提供从不同数学环境中看到同一现象的机会；也可以在代数、欧氏几何、解析几何、统计、概率等之中提供必要的、需要用多种数学知识和方法才能解决的综合性问题。

四、“模块化”──如何兼顾数学内在的逻辑结构，真的需要“结构创新”吗？

数学课程的“模块化”是为了适应“学分制”而诞生的。学分制到底有什么好处，加强选择性是否一定要用学分制来管理，这些都是可以探讨的问题，这里只从“模块化”与数学学科的内在逻辑结构之间的矛盾提出一点思考。一个“模块”有相对固定的学时限制（36课时）和容量限制。这样，在设定每个模块的内容时，就不能仅仅从内容的内在逻辑体系考虑，还要从学时限制考虑。因为这些限制，许多本来应一以贯之的内容被人为地割裂开了；同时，为了拼凑课时，一些关联不大的内容却被“捏”到同一模块中。显然，这样做破坏了数学的逻辑结构。为了有利于数学教学内容的合理组织，数学课程不宜采用模块化方式。另外，数学课程“结构创新”的提法必须慎重。陈省身先生曾经谈到，基础教育阶段所学的数学内容，“可以变的很少，就是这些内容，没有什么新的。”中小学阶段所学习的数学内容及其逻辑结构都是非常成熟的，“结构创新”很可能会引发新的问题。关键是内容的呈现方式的创新，特别是素材的选择和知识发现过程的“再现”。与此相关的问题是分科结构和综合结构哪个更好的问题。我们认为，分科结构和综合结构各有利弊，并不存在哪一个更好的问题。重要的还是如何加强联系。从当前的教材编写实践看，因为没有充分的体现联系的素材和问题，综合结构因为造成知识链条的断裂（前一章讲代数，下一章安排几何，接着要安排统计），所以弊大于利。应当说，综合结构比分科结构更难组织，需要更多的时间来实验、探索。从内容顺序来看，可以考虑：工具性内容（如常用逻辑用语、向量、算法等）在前；确定性数学在前不确定性数学（统计、概率）在后；有限在前无限（导数、积分）在后；代数（函数）在前解析几何、立体几何在后；等等。

五、联系实际和数学应用──如何理解？如何把握？

我们的疑问是：数学应用真的是数学教育的主要任务之一吗？应当如何理解基础教育阶段的“数学应用”？陈省身先生说，“很多是数学学得深了才有应用”。联系实际，加强应用，需要考虑两方面问题：一是是否与当前的数学学习内容有直接关系，可以成为理解当前学习内容的基础；二是是否与学生的已有知识经验相协调。正因为此，需要防止两种倾向：一是为了“情境”而情境，所设置的学习情境与当前的学习内容没有多少关系，把“数学化”搞成了“去数学化”；二是情境复杂化，造成学生对背景理解的困难，干扰了对数学本质的理解。为了解决数学脱离学生生活实际，学生数学学习兴趣不高的问题，在数学内容的组织上，曾经出现通过解决现实问题带动数学学习的做法，即给出一个现实问题，在解决问题的过程中，需要哪些新知识就引出哪些新知识，这样，问题解决好了，新知识也学到手了。这与有人提出的数学课程可以用“经验课程”的方式设置，教材可以“情境化”的提法差不多。实践表明，这样组织数学课程内容，可以在某种程度上解决学生的学习兴趣问题，使学生感到数学有用等等，但是难以保证知识的系统性，最终不利于学生建立良好的数学认知结构。因此，在国际上，这样的做法已经被摒弃。从教学实践看，纯粹用数学的形式化逻辑体系组织教材，因为与学生的数学思维活动不一致，对于少部分能主动寻根究底的学生的学习影响不大（他们能主动地问“为什么”，主动探寻结论成立的原因），但对大部分学生而言，要求他们根据这种逻辑体系自己发掘知识的发生发展过程，显然有困难，因为学生（甚至有许多教师）不能体会这种逻辑体系中所蕴含的数学思维过程，数学思想方法，常常以简单模仿记忆的方式进行学习，并且容易导致教师照本宣科。为了解决这个问题，弗莱登塔尔曾提出“数学化”、“再创造”的概念。后来，荷兰的弗莱登塔尔研究所根据弗莱登塔尔的基本思想，提出“Realistic MathematicsEducation”的数学教育理论。他们认为，经验是学习的起点，真实的现象是概念形成的源泉。用真实的情境来描述问题，再引导学生通过实验、收集数据、讨论等活动，从中概括出数学问题，然后再进入数学的运算、推理、论证、解题等“传统的数学活动”，最终使学生掌握数学知识。由于一段时期以来，弗莱登塔尔的数学教育思想在我国备受推崇，所以这一理论对我国的数学教育改革有很大影响。有人说，数学的逻辑体系是人为的，数学课程也能以“经验课程”的方式来组织，数学教材、课堂教学都要强调“情境化”，因此提出教材编写、课堂教学都要“从学生熟悉的生活情境出发，构建与学生生活经验紧密结合的学习（或教学）情境，使学生在解决相应的问题的过程中，学会相应的数学知识”。显然，这是“走另一个极端”的做法。有两个明显的问题需要考虑：一是知识的系统性如何保证？二是构建的“生活情境”是否恰当？是否真正能够反映当前知识学习的需要？我们认为，数学课应当教数学。任何情境、联系实际、学生的探究活动等等，都应以是否有利于学生理解和掌握数学知识为标准，因为心理学的研究早就表明，离开知识的掌握，学生的一切发展都将落空。无知者不仅无能而且无情。

六、学生负担重──到底是怎样产生的？如何才能真正减轻学生负担？

我国学生的负担确实非常沉重，他们的时间大部分都被所谓的“主课”占据，没日没夜地做题、做题再做题，为了应试在重复做一些对他们来说没有多少意义的题目。投入和产出太不成比例了。现在的问题是，哪些因素造成了负担沉重？是因为课程繁、难、偏、旧吗？是因为教材内容多吗？是因为我们过分强调基础了吗？我们认为，这些都不是主要原因。熟悉我国中小学数学课程发展情况的人都知道，从实施九年义务教育以后，我国的数学课程、教材中，繁、难、偏、旧的情况已经基本上不存在了。另外，数学教学中强调基础能够起到减轻负担的作用，因为一旦学生有了良好的基础，并形成了逻辑推理能力，那么他们就有能力自己去解决更多更复杂的问题。实际上，强调基础没有“过分”的问题，只有“不到位”的问题。学生负担重主要来自于教学。具体表现是： （1）赶进度，3年的内容2年教完，拿出大量时间进行中考、高考复习； （2）“注入式”教学盛行，大量采取“概念──例题──练习──习题”的教学模式，概念教学一带而过，讲解例题就是归纳题型，然后就让学生进行大运动量的机械重复训练；（3）强调细枝末节，不注重基本概念；（4）强调题型训练，注重解题技巧而不重视核心数学思想方法； （5）为了解题方便，擅自增加教学内容； ……要真正减轻学生负担，提高教师水平（主要是教师本身的数学素养、把握学生数学思维规律的能力），改进教学方式最关键。因此，课程改革与教师培训比较是第二位的。

七、改进教学──我们应该做什么

当前，为了改进数学教学，特别值得强调如下几个方面：

1．亲和力：以生动活泼的呈现方式，展示数学的发生发展过程，激发兴趣和美感，引发学习激情。中学数学的绝大部分内容，是人类社会长期实践中经过千锤百炼的数学精华和基础，其中的数学概念、方法与思想的起源与发展都是自然的。如果你感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味。因此，数学内在的和谐自然，也是增强数学课程亲和力的源泉。这就要求我们努力选取那些与内容密切相关的、典型的、丰富的、学生熟悉的素材，用生动活泼的语言，创设能够体现数学的概念、结论及其思想方法发生发展过程的学习情境，激发学生对数学的亲切感，引发学生“看个究竟”的冲动，兴趣盎然地投入学习。在体现知识归纳概括过程中的数学思想、解决各种问题中数学的力量、数学探究和论证方法的优美精彩之处、数学的科学和文化价值等地方，用适当的方式启发学生的美感，引导学生更深入地思考，不断引发学习激情。

2．问题性：以恰时恰点的问题引导数学活动，培养问题意识，孕育创新精神。提问是创新的开始。以问题引导学习应当成为数学教学的一条基本原则。要使学生“看过问题三百个，不会解题也会问”。通过恰时恰点地提出问题，提好问题，给学生提问的示范，使他们领悟发现和提出问题的艺术，引导他们更加主动、有兴趣地学，富有探索性地学，逐步培养学生的问题意识，孕育创新精神。具体的，可以在知识形成过程的“关键点”上，在运用数学思想方法产生解决问题策略的“关节点”上，在数学知识之间联系的“联结点”上，在数学问题变式的“发散点”上，在学生思维的“最近发展区”内，提出恰当的、对学生数学思维有适度启发的问题，引导学生的思考和探索活动，使他们经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方式。提问的关键是要把握好“度”，要做到“导而弗牵，强而弗抑，开而弗达”。这是课堂教学的关键，也是衡量教师教学水平的关键之一。

3．思想性：加强数学思想方法的渗透与概括，引导学生领悟具体内容所反映的数学思想。数学教学中注重思想性，就是要以数及其运算、函数、空间观念、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等数学核心概念和基本思想为贯穿数学教学过程的“灵魂”，体现寻求一般性模式的思想和追求简洁与形式完美的精神等，引导学生领悟数学本质，体验数学中的理性精神，加强数学形式下的思考和推理训练。具体地，在核心概念的教学之初，利用“先行组织者”，在大背景下阐述它的地位和作用；在具体讨论某一内容之前，先引导学生明确需要研究的问题及其研究方法；在小结时，不但引导学生归纳知识结构，而且要从数学思想的高度进行概括和总结；等等。

4．联系性：通过不同数学内容的联系与启发，强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用，学习数学地思考问题的方式，提高数学思维能力，培育理性精神。逻辑的严谨性是数学学科的特点之一，而不同内容的联系性、数学思想方法的一致性则是严谨性的关键所在。利用数学内容的内在联系，使不同的数学内容相互沟通，既是使学生建立功能良好的数学认知结构的需要，也是提高学生数学能力和对数学的整体认识水平的需要。特别地，教学中应强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的应用，努力展示以下常用的逻辑思考方法：

以使学生体会数学探索活动的基本规律，逐步学会借助数学符号和逻辑关系进行数学推理和探究，推求新的事实和论证猜想，从而发展学生认识事物的“数”“形”属性和规律、处理相应的逻辑关系的悟性和潜能，养成逻辑思维的习惯，能够有条理地、符合逻辑地进行思考、推理、表达与交流。