数学手册与实用性——闲聊《数学指南》
本文作者：朱尧辰 (中国科学院数学与系统科学研究院)，[遇见数学]已获科学出版社发布授权。
无论学习、使用或是研究数学的人，或多或少总要接触几本数学手册. 我要把这些数学手册大致分为三类.
一类是最常见的国人编写的手册，它们篇幅大小、知识深度、读者对象各不相同. 薄薄的一本《四位数学用表》陪伴了数以百万计的我们当年的同代人走过自己的中学历程. 也许那时很可怜，但回忆起来别有一番风味在心头. 到了大学，《积分表》是做高等数学习题的好帮手. 后来终于出现了一些有分量的“国产”大型数学手册，其中佼佼者当数科学出版社的《数学手册》(1979，北京，王连祥等编写). 该书内容相当全面，参与编写审查的人员素质较高. 实际上编写中吸收和借鉴了当时苏联的数学手册编写的宝贵经验. 也许这本手册是我国出版界注重大型数学手册的开端.
第二类是最近几十年国外出版界不断推出的大型专业手册，诸如数论手册、矩阵计算手册、凸几何手册、K理论手册、编码手册、图论手册、最优化手册、等等. 它们水平高，专业性强，突破了经典数学手册的框架，将它们看做专业百科全书也许更合适些. 可惜至今没有一本被译为中文.
第三类是(通常意义下的)国外大型数学手册的中译本. 这类手册目前还不多. 我要特别提到的是科学出版社的《数学指南——实用数学手册》(2012，北京，李文林等译).
这本手册译自德文名著Teubner-Taschenbuch der Mathematik(B. G. Teubner Verlag,2003). 除原版外，同时流行它的转译为英文的版本Oxford User's Guide to Mathematics (Oxford University Press). 中文版译名参照二者确定. 原书1958年初版，以几乎一年一个版本的速度，历经多次扩充修改完善更新，现在发展成为一本畅销欧美的经典数学手册. 手册的原始版本系译自苏联早年的一本数学手册，其中除了完备的数学公式和数表外，还配备了比较系统全面的文字说明，使工具性的公式数表与论述性的数学知识有机统一这个特色一直保留在德文版手册中.
我要在此转述手册中文版译者序中列举的本手册在选材、立论、编排等方面的一些特色：
- 不仅仅是数学公式、定理、概念的罗列，而且包含对数学学科的全貌的清晰准确和较为通俗的介绍.
- 注重前沿数学理论和数学的现代应用(其中包括交叉学科和科学计算).
- 对数学史的某种“偏爱”，全书贯穿历史评注和背景介绍.
- 配备了大量精选的典型例子，为读者学习参考提供了方便.
- 注意不同层次读者的基本需求，以现代数学为主，兼顾初等数学知识以及它们对于数学由初等到高等发展中的作用和地位，有助于激发读者对数学知识的追求.
以上几条可以概括为一句话：本手册具有高度的实用性.
本手册正文含8章，每章各有亮点.
第0章：公式、图和表，篇幅达210多页，基本涵盖中学和大学基础阶段的课程，特别评述了计算机及数理统计的独特作用.
第1章：分析学，包括大学数学教材中规范化的数学分析各项内容——积分变换，常微分方程和偏微分方程，以及复分析. 众多的例题和完整的积分表、积分变换表引入注目. 注意，本章不涉及大学数学教材中的实变函数论，但包含一段关于测度与积分的评论，涉及勒贝格积分的概念，并且预告这将是本手册第2卷中“高等分析”的主题.
第2章：代数学，将初等组合、初等代数、线性和多线性代数、抽象代数、多项式理论和数论(含初等数论、解析数论、丢番图逼近、超越数论、数的几何、代数数论等)作为一个整体系统地处理，这在其他同类大型数学手册中不多见. 还要提及的是，作为代数数论的背景材料，专列一节介绍三个著名古代问题(关于尺规作图).
第3章：几何学，从克莱因的埃尔兰根纲领所概括的几何学基本思想出发，论述初等几何(欧氏几何和非欧几何，含平面及球面三角)，射影几何，微分几何，代数几何(含丢番图几何，涉及费马大定理等结果)，以及几何与现代物理学的紧密联系. 该章特别显示了手册内容的现代化. 尤其值得一提的是，各节起首处列出的一些权威几何名家的精辟语录，起到画龙点睛的作用.
第4章：数学基础，是关于数理逻辑和集合论的简明导引，其中关于公理化方法的论述对一般读者颇有启发意义.
第5章：变分法与最优化，给出单变量和多变量函数的变分法的基本技术，控制理论和最优化基本理论，每个部分都提供数量众多的典型应用例子.
第6章：随机演算——机会的数学，涵盖了大学数学教材中基础概率、数理统计和随机过程的各项内容，由直观讨论开始，提升到以科尔莫戈罗夫概率论公理化为基础的严格论述.
第7章：计算数学与科学计算，除了关于计算数学的基本介绍外，论述了线性代数计算方法，插值、数值微分和积分，非线性数值方法和数值逼近，常微分方程初值问题和边值问题的数值方法，并且着重讨论了与偏微分方程有效数值处理有关的科学计算问题，这是在计算机技术快速发展的历史条件下计算数学的重要研究领域.
本手册的非正文部分包括一篇用年谱形式给出的数学史概要，其中特别完整列出菲尔兹奖、奈望林纳奖和阿贝尔奖得主名单. 其后是逐章列出的参考文献(共592条). 此外还有数学符号、物理学常数和量纲等，译名对照表以及索引，后面几项都是本手册应有之义.
我们强调本手册的实用性，同时要指出：手册的实用性是以论述的科学性和准确性为前提的. 有一个反例：上世纪末，有一本手册给出的关于某数值计算公式有误，竟然被某课题组用来实施课题计算而产生错误，导致经济损失. 而这本手册历经数十个版次的审查修改，对于论述的科学性和准确性有充分的保证(当然，残存的印刷错误也许难免).
最后要说的是，这本手册装订颇为精美，也许定价不菲. 但我相信，随着国人个人收入的增加和崇尚科学之风的盛行，积攒点“碎银子”置办这本手册，看来算得上是一件物有所值的美事. (2o2o-08-22)