期权系列研究专题（一）：常用期权定价模型介绍

报告摘要

• 期权到期收益与标的资产价格呈现非线性的特征，这也使得对期权的定价相对于股票、期货等金融工具更加复杂。不同的期权定价模型可能得出不同的期权估值，同时，定价模型的选择也决定了期权的对冲方式，因此如何对期权定价便成了期权研究中一个很重要的问题。

• BS模型是期权定价中最为经典的一个模型，它可以得到欧式期权价格的解析解，BSM模型拓展了B-S模型至允许标的支付连续股息的情形，Black76模型则可以为标的资产为远期或期货的期权定价。

• BAW期权定价方法基于这样一个原理，即美式期权可以分解为两部分，一部分是欧式期权，另一部分是由于合约增加提前实施条款而需要增付的权利金。BAW模型正是通过找到美式期权行权时的临界股票价格来得到期权价格的近似解析解。

• 二叉树模型利用树状离散结构来模拟不连续时间情形中的标的资产价格运动。通过将期权剩余期限划分成离散的小区间，利用风险中性定价原理由后一个节点上的期权价格反推前一个节点上的期权价格。CRR二叉树是常用的普通二叉树，但其在收敛过程中波动会较大，相比之下LR二叉树收敛较为平滑。

• 蒙特卡罗模拟的核心思想在于通过模拟标的资产在风险中性世界中的价格变化路径，根据路径末端的标的资产价格计算期权到期时的收益。重复模拟多次后可得到到期收益的样本，对该样本均值以无风险利率进行贴现即可求得期权价格的估计值。蒙特卡罗模拟适用较为广泛，除了香草期权，它也可以为一些奇异期权定价。

• 有限差分法通过将期权剩余期限和标的资产价格分别等分得到有限差分网格，在求解过程中，微分方程被一组差分方程所替代，我们可以通过迭代来求出差分方程的解。

期权到期收益与标的资产价格呈现非线性的特征，这也使得对期权的定价相对于股票、期货等金融工具更加复杂。不同的期权定价模型可能得出不同的期权估值，同时，定价模型的选择也决定了期权的对冲方式，因此如何对期权定价便成了期权研究中一个很重要的问题。基于此，本文首先将从最基础的Black-Scholes模型开始，简单介绍实际应用中几种常见的期权定价模型及其特点。

1.B-S模型

1.1

Black-Scholes模型

Black-Scholes期权定价公式可以给出无连续股息支付的股票欧式看涨期权和看跌期权的价格。在风险中性的前提条件下，无连续股息支付的股票欧式看涨期权Black-Scholes定价公式为：

其中，

由无连续股息支付的股票欧式看涨期权和看跌期权之间的平价公式：

无连续股息支付的欧式看跌期权的定价公式也可表示为：

这里C和P分别为欧式看涨期权和看跌期权的价格，S为标的资产价格，X为执行价格，σ为标的资产波动率，r为无风险利率，T为期权到期剩余时间，函数N(x)为标准正态分布下的累积概率分布函数。

关于Black-Scholes期权定价公式的推导主要有两种，一种是解B-S偏微分方程满足的边界条件，另一种方法就是利用风险中性定价。详细的推导过程这里不作展开，有兴趣的读者可以自行尝试。

1.2

Black-Scholes-Merton模型

Merton(1973)把Black-Scholes模型拓展至允许标的支付连续股息的情形，Black-Scholes-Merton期权定价公式可以给有连续股息收益率q的股票欧式期权、股指期权和货币期权定价，具体定价公式为：

其中，

在BSM定价模型下，欧式看涨期权和看跌期权之间的平价公式为：

1.3

Black76模型

在风险中性世界里，期货价格的行为等于支付连续股息收益率为无风险利率r的股票。针对标的资产为远期或期货合约，Black在1976年给出了Black76模型，该模型可以为欧式期货期权定价。假设标的远期或期货合约的价格为F，则具体定价公式为：

其中，

在Black76定价模型下，欧式看涨期权和看跌期权之间的平价公式为：

2.BAW美式期权近似定价模型

美式期权的持有方能够在到期日之前的任何时间行权，相比欧式期权，这种附加的自由选择使得持有人拥有更多的获利机会，因此一般来说它比相同条件下的欧式期权更贵一些，定价也更加复杂。不同于欧式期权，想要找到美式期权的解析解是不可能的。然而一些研究者已经找到了很好的闭式近似算法，其中Barone-Adesi和Whaley(1987)提出的二次近似方法BAW模型便是最为著名的一个美式期权定价近似解。

BAW期权定价模型基于这样一个原理，即美式期权可以分解为两部分，一部分是欧式期权，另一部分是由于合约增加提前实施条款而需要增付的权利金。

考虑一个红利率为q的支付连续红利的股票期权，令e(S,T)表示为美式期权和欧式期权的权利金之差，即提前实施金，则美式期权的价格可表示为：

其中fA为美式期权价格，fE为欧式期权价格。由于fA和fE都满足Black-Scholes偏微分方程：

故e(S,T)也必须满足Black-Scholes偏微分方程:

由于欧式看跌期权和美式看跌期权均满足如下的边界条件：

所以提前实施金必须满足下面两个条件：

假设提前实施金：

则提前实施金e的选择形式可以保证边界条件被满足。

令

通过变量替换可得：

Barone-Adesi和Whaley在这里假设最后一项为0，这样可得：

令C和P分别代表美式看涨期权和看跌期权的价格，结合前面提到的边界条件，则BAW美式期权近似解定价模型如下：

其中CBSM是广义BSM看涨期权公式，而且：

变量S*是看涨期权定价中的临界股票价格，超过这个价格，看涨期权应该被执行，S*满足：

同样，对于看跌期权，BAW美式期权近似定价模型为：

其中PBSM是广义BSM看跌期权公式，而且：

变量S**是看跌期权定价中的临界股票价格，低于这个价格，看跌期权应该被执行，S**满足：

我们将BAW模型与下一节要介绍的二叉树模型作对比，以10000步CRR二叉树模型给出的价格作为对比基准价格，下图展示了CRR（100步）模型与BAW模型与基准价格的相对误差随剩余到期时间的变化，相对误差计算公式为：

可以发现，随着剩余到期时间的增加，BAW模型给出的美式期权相对误差逐渐增大，当剩余到期时间达到某一阈值时相对误差也达到最大，随着剩余到期时间继续增加超过这一阈值后，BAW模型定价的相对误差又会逐渐减小。而当期权剩余到期时间很短时（例如几天），BAW模型的定价精度甚至要高于CRR二叉树模型。

3.二叉树模型

3.1

CRR二叉树模型

二叉树期权定价模型首先由Cox、Ross和Rubinstein提出，他们阐述了如何利用树状离散结构来模拟不连续时间情形中的标的资产价格运动。我们将期权的到期剩余时间T等分成n个子区间，即Δt=T/n，在每一个子区间Δt时段内，标的资产价格只有两种可能的变化，或是上升固定幅度u，概率为p，或是下降固定幅度d，概率为1-p。这里将上涨和下跌的参数设定为：

并且标的资产价格在下一步上涨的概率为:

下图展示了资产价格树形为4步时的完整结构。在时间0Δt时刻，标的资产初始价格S已知；在Δt时刻，价格有两种可能的值：Su，Sd；在2Δt时刻，价格有三种可能的值：Su^2，S，Sd^2。在一般情形下，在iΔt时刻，价格有i+1种可能的取值：S(u^j)(d^i-j)，j=0,1,...,i

通过在nΔt时刻(即树的末端)的期权价格由反向归纳的方式可以对期权定价。在时刻nΔt，看涨期权的价值为max(SnΔt-X,0)，而看跌期权的价格为max(X-SnΔt,0)。假定世界为风险中性，在(n-1)Δt时刻，每一个节点上的期权价值等于将nΔt时刻期权价值的期望值以无风险利率r进行贴现。同样，在(n-2)Δt时刻，每一个节点上的期权价值等于将(n-1)Δt时刻期权价值的期望值以无风险利率进行贴现，并以此类推。

用数学语言来描述的话，一般地，记在时刻iΔt的第j个节点为(i,j)节点，其中0<=i<=n，0<=j<=i，令fi,j为期权在(i,j)节点上的值，则标的资产在(i,j)节点上的价格为S(u^j)(d^i-j)。在iΔt时刻，从(i,j)节点移动到在(i+1)Δt时刻(i+1,j+1)节点的概率为p；从(i,j)节点移动到在(i+1)Δt时刻(i+1,j)节点的概率为1-p。由于欧式期权不存在提前行权的可能，由风险中性定价原理可以得出在(i,j)节点期权的价值为：

美式期权与欧式期权的不同点在于美式期权存在提前行权的可能，所以上式中fi,j必须同(i,j)节点上期权的内涵价值做比较，因此对于美式看涨期权：

对于美式看跌期权：

3.2

LR二叉树模型

与CRR模型相比，LR二叉树模型的标的资产和期权价格的树状结构与CRR模型均相同，不同点在于LR模型通过对u和d的设定将二叉树置于行权价附近。其上涨的概率p被设定为：p=h(d2)，下跌的概率由1-p自然给定。此外，将上涨和下跌因子分别设定为：

并且，

这里有两种方法来计算h(x)，分别是:

Preizer-Pratt转置法1：

Preizer-Pratt转置法2：

如果x>=0,η=1；如果x<0,η=-1。而且，步长n应该为奇数以确保到期标的资产价格不包括行权价。

我们将CRR二叉树与LR二叉树模型做对比，以BS模型给出的欧式期权价格为基准价格，下图展示了CRR树与LR树的收敛情况。相较于CRR二叉树，LR二叉树收敛较为平滑且收敛速度较快。

4.蒙特卡罗模拟

蒙特卡罗模拟最早由Boyle(1977)引入期权定价，除了可以给普通的香草期权定价外，对于一些复杂的奇异期权用的最多的定价方法也是蒙特卡罗模拟方法。下面将以欧式期权为例，简单介绍蒙特卡罗模拟在期权定价中的运用。

在计算期权价格时，蒙特卡罗模拟采用了风险中性理论。假定在风险中性世界中，标的资产价格变化服从以下过程：

这里dz是均值为0，标准差为1的维纳过程，μ为标的资产在风险中性世界里的收益率期望，σ为标的资产价格的波动率。为了模拟这个过程，我们可以将期权的期限分成N个长度为Δt的小区间，在每个Δt小区间上，标的资产价格的变化可以近似表示为：

其中ε是标准正态分布中的抽样。

在实际中对lnS进行抽样通常比对S抽样更为准确。由伊藤引理，lnS服从的过程为：

在风险中性世界中，标的资产收益率期望μ等于无风险利率r。考虑在的Δt时间间隔内，上式可改写为：

以上过程可以模拟标的资产价格在风险中性世界里的价格路径变化，随后根据路径末端的标的资产价格计算期权到期时的收益。重复这两个步骤以获得期权到期收益的样本，并计算样本均值，该均值即为期权在风险中性世界里收益期望值的估计，最后以无风险利率对收益期望值进行贴现即可求得期权价格的估计值。

下图展示了每条路径节点设置为100，重复模拟1000次的股票价格路径变化：

5.有限差分法

有限差分法通过求解衍生品价格所满足的微分方程来达到定价的目的，在求解过程中，微分方程被一组差分方程所替代，我们可以通过迭代来求出差分方程的解。假设标的资产服从几何布朗运动，考虑一个股息收益率为q的股票期权，则期权价格满足如下的BSM偏微分方程：

其中f是期权的价格（该期权可以是欧式期权、美式期权或者某些奇异期权）。

假定期权的期限为T，我们将T分成N个等间隔，长度为Δt=T/N的时间区间，所以需要考虑N+1个时间点：0,Δt,2Δt,...,T。紧接着假定一个足够大的股票价格Smax，令ΔS=Smax/M，并同时考虑M+1个股票价格：0,ΔS,2ΔS,...,Smax，Smax的选取应确保这M+1个股票价格中刚好有一个等于股票的当前价格S。

于是，我们选取的股票价格和时间构成了一个共有(M+1)(N+1)个点的网格。用fj,i表示(j,i)点的期权价格，该点对应于时间为jΔt，股票价格为iΔS，其中0<=j<=N，0<=i<=M且j,i为整数。

5.1

显式有限差分

对于网格内部的点(j,i)，t的一阶偏导通过向前差分（由于时间只会向前运动）近似使得jΔt时刻的价值与(j+1)Δt时刻的价值发生关联：

S的一阶偏导（Delta）和二阶偏导（Gamma）则通过中心差分（由于股票价格可以双向运动）进行近似：

将BSM偏微分方程替换为上述近似，得到

整理可得

其中

当j=N，即期权到期时，期权价格fN,i可表示为：

这里，如果是看涨期权则z=1；如果是看跌期权z=-1。

当i=0，即股票价格为0时，期权价格fj,0可表示为：

当i=M，即股票价格为Smax时，期权价格fj,M可表示为：

这样我们就得到了网格中当j=N，i=0和i=M三个边界上的期权取值。接下来，利用j=N时刻的期权价格fN,i倒推可得出j=N-1时刻的期权价格fN-1,i，重复此迭代可得出网格上每个点的期权取值。最终可以得到j=0时刻的M+1个期权取值：

其中的一个取值即为我们所求的期权价格。

以上讨论的是欧式期权的情况，如果是美式期权，则还需将每个格点的取值与提前行权收益比较，来确定提前行权是否最优。

5.2

隐式有限差分

隐式有限差分法和显式有限差分法十分相近。它们的主要区别是通过在第j个时间步长而不是显式差分中的第j+1个时间步长中心差分来估算BSM偏微分方程中S的一阶偏导和二阶偏导

这样差分方程变为：

整理可得：

其中，

6.不同期权定价模型的特点

就目前已上市的期权品种来说，BS模型、BAW模型和二叉树模型是运用的最多的三个模型。然而不同的期权定价模型有着不同的特点，在实际运用中我们需了解并熟悉这些定价模型的优缺点并根据实际情况选择采用何种定价模型。事实上，期权定价模型的作用不只是计算期权价值，更重要的是通过期权模型给出期权价格的风险指标（希腊值），从而进行风险控制。常用的期权定价模型优缺点总结如下：