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面对这道题目，不同的教师会有不同的教学处理。
师：同学们，在这道题目中，分子都是1，分母4和5是相邻的自然数，怎么办呢？我们刚学过通分，通一下分嘛！来，分母变成20，就是——5/20、4/20。这样还是不行！继续通分，分母变成40，就是—— 10/40、8/40。这不就行了吗？我们可以填—— 9/40。对，请自己填好。来看下一题……我们身边有没有像A这样教课的教师？肯定有！当教学进度比较赶，或者是教学内容比较多的时候，面对这样一道普普通通的题目，有的教师就会采用上述那样“高效率”的方法，领着学生边“思考”边解答。这样的处理，解决问题的速度比较快，一堂课自然可以讲解更多题目，教师也会比较安心。然而，这样教过之后，考试时一旦遇到了不一样的题目要求，如“你能填出几个不同的答案吗”或“你能采用两种不同的思考方法来填写吗”，有些学生还是做不出来，教师常常很生气，归咎于学生缺乏灵活性。可是，这能怪学生吗？您在讲解、“灌输”的时候，让学生去主动尝试和深入思考过吗？学生凭什么就会有您想要的灵活性？
师：同学们，这道题目怎么填呢？大家想一想。（略等待）有答案了吗？谁能来说一说？（结合学生的回答，教师在原先两个分数边上板书通分后的10/40、8/40，填入9/40）除了9/40，还可以填几？（有学生说通分到60，就可以填出2个，教师再次板书）还可以填几？（有学生说分母是400、4000 等，教师以此引导学生理解可填的数有无数个）好，同学们，每人填上三个不同的分数吧……
教师B教得如何？显然比A 好。最明显的差异有两点：一是把解题的机会“还给”了学生——请学生思考之后，汇集多位学生的回答，形成答案；二是教了不同的填法（且借助板书直观呈现），还引导学生认识到了可填的数有无数个，知识教学似乎也很到位。那么，B的教法有问题吗？有。学生的参与不全面（只有部分优秀学生的思考和回答），方法太单一（通分法），这些都是不足。所以，如此教学，课堂的主动权并没有真正还给学生，学生经历的思考和探究并不充分，他们没有从这一知识的学习中获得其他的发展。师：同学们，这道题目我们是第一次碰到。怎么填呢？请开动脑筋，自己想一想、写一写，开始吧！（待很多学生都想出了一种方法后，跟进提醒：再想一想其他方法，填好后同桌可以互相交流一下）生1展示“通分法”，教师追问“用通分法还可以填几”，结合其他学生的回答，引导学生理解有无数个答案。生2 展示“分子扩大法”（如分子都化为2），教师同样追问“还可以填几”，引导学生理解有无数个答案。生3展示“化小数法”（将两个分数化为0.25和0.2，从它们之间找一个数，如0.24，再化成最简分数6/25），教师表扬这种“转化”的思路，追问并引导学生理解还可以是三位小数、四位小数，答案同样有无数个。师：同学们，一道题目，如果能想到多种解决方法，那是思维灵活性的体现。刚才哪种方法你没想到？自己写几个答案体验一下吧！教师C的教法特点鲜明：问题来了，先抛给学生自主尝试、深入探究；课堂上探究、交流、分享，学习方式多样，使用合理。由此，学生不仅深刻而全面地建构了知识，还充分经历了方法多样化的过程，增强了对思维灵活性的体验。应该说，教师C的教法算是很不错了，不过看过教师D的教学方式，就会有这样的体会：意识更强，课堂更好。师：同学们，刚才我们已经想出了三种方法，现在你还能想到不一样的方法吗？（D在备课时预设了在C基础上的教学跟进）学生遇到挑战，再次展开思考和探究。不一会儿，新方法出现了——“分母取小数法”。例如，分母取4.5，分子是1，也就是1/4.5，再化成2/9。教师表扬这种与众不同的思维方式，学生受到启发，纷纷想到分母只要是4和5之间的小数均可，答案有无数个。教师让学生再试着写几个……师（小结）：跳出已有的经验，想到出人意料、与众不同的方法，这样的思维更了不起。显而易见，教师D 的教法比C更有深度。这里的深度不仅体现在多了一种解答方法，还体现在D所具有的一种教学理念——借助学习材料和要求，指向于学生思维的发展（此处所体现的是求异、创新等高阶思维）。课堂有理念支撑之时，内涵就会精彩显现。日常的数学课，教师能有这样的理念，能教到这样的程度，已经够好了，学生一定深深受益，后劲无穷。接下去“出场”的教师E和教师F，他们的做法是我想象出来的理想情形（但我作过这样的教学尝试）。教师E发现，“分母取小数法”还有进一步挖掘的空间，于是在D的基础上又设了一个层次。
师：观察1/4>2/9>1/5，你有什么发现吗？（学生发现1+1=2，4+5=9）
师：这真是一个“奇妙”的方法。换作其他的题目，这种方法还适用吗？（学生意见不一，教师板书“猜想”，引导学生举例验证）
展示学生的例子，如1/5> 2/11 >1/6、1/2>2/5>1/3等，学生发现都适用。
师：例子是举不完的，你能通过观察和思考，分析一下是不是都适用吗？
学生交流讨论，发现这样的方法就相当于“分子扩大法”——两个分数的分子都扩大到2，分母也随之扩大，原先两个分母的和一定正好处于中间。所以，这种方法是一种通法，而且是一种“简便方法”。
师（小结）：猜想—验证—结论（板书），这是一种重要的数学思想方法，很多数学发现都是由此得来的。
一步简单而巧妙的教学跟进，课堂立即绽放出更加迷人的魅力——知识之间深度勾连，简便方法深入人心，重要的数学思想方法有效渗透，数学学习的乐趣显露无遗。
还有什么可挖掘的吗？教学还有更深刻的内涵吗？且看教师F的处理。
师：同学们，刚才得到的经验，可以用字母表示吗？
学生试写，全班反馈，得到1/a> 2/（a + b） >1/b（a、b 是不为0的连续自然数）。
师：学到这里，你还有什么疑问吗？谁能大胆地提出来？
生1：分子不是1的分数，还有这样的简便方法吗？
生2：分子不是1，分母不是连续的自然数，能这样填吗？
生3：是不是所有的分数比大小，都可以用这样的简便方法？
生4：带分数难道也能这样填？
……
学生议论纷纷，猜测不一。
师：新的猜想又来了，结论是什么，又该怎么解决呢？课后同学们可以继续深入研究。
字母表达，是抽象思维的培养，是符号意识的渗透；引导学生提出问题，显现出学生思维的发散和深入；课上的内容，课下学生还争论不休，想要继续探究，这更是无比美妙的事情。一道题目，六种教法，显现出不同教学理念下不同的教学行为及教学效果。最近，我常用这个教学案例跟老师们交流关于数学教学理念的话题，并把这六位教师分成如下三类，来表达我的视野里对其教学水平的评价。个人认为，第一类教师教学理念落后（如生本意识不强），教学形式陈旧（如机械灌输、简单讲解）。在他们的心目中，数学教学最重要的目标就是教会知识，对于借知识教学发展学生思维这样的目标，他们没有自己的思考或者并不重视。第二类教师明显具备了新课程理念，是符合新时代要求的教师。他们让学生思考在前，探究为先，引导学生自主建构知识；重视学生思维能力的培养，有意识地设计相应的过程，采用合理的手段，努力让学生在知识学习之时获得思维的发展。第三类教师显然有更高的站位和更强的教学能力，能够挖掘出数学知识中蕴含的丰富思维元素，能够巧妙而有效地引导学生获得思维的发展，他们可称为高水平的数学教师。老师们不妨回顾自己日常的教学方式，或审视身边同事的教学行为，跟这六位教师做个比照，看看各处于哪个类别之中。
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