中考数学：截取法构造全等或相似三角形(三)

例：已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，CD

(1).如图1，当∠BAC=120°时，请探究AB，AC，AD之间数量关系。

分析：在AD上截取点E，使AE=BE，连接BE

∵∠BAC=120°，AD平分∠BAC

∴易得△BAE，△BCD均为等边三角形

手拉手模型易证：△BDE≌△BCA

∴DE=AC

∴AD=AE+DE=AB+AC

(2).如图2，当∠BAC=90°，请探究AB，AC，AD之间数量关系。

分析：由(1)问思路，构造手拉手模型，在AD上截取点E，使AE=BE，连接BE

∵∠BAC=90°，AD平分∠BAC

∴易得△BAE，△BCD均为等腰直角三角形

∴AE=BE=√2/2.AB

手拉手模型易证：△BDE～△BCA

∴DE/CA=BE/BA=√2/2

∴DE=√2/2.AC

∴AD=AE+DE=√2/2.AB+√2/2.AC

即：AB+AC=√2.AD。

(3).如图3，若BC=5，BD=4，求AD/(AB+AC)值

分析：在AD上截取点E，使AE=BE，连接BE

∵AD平分∠BAC

∴易得：△BAE，△BCD均为等腰三角形

同理易证：△BDE～△BCA，BC=5，BD=4

∴BE/BA=DE/CA=BD/BC=4/5

∴DE=4/5.AC，AE=BE=4/5.AB

∴AD=AE+DE=4/5(AC+BC)

即：AD/(AB+AC)=4/5。