2021大庆市中考数学填空压轴题：三角形内角与外角平分线性质结合

如图(1)，若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线，通过证明可得AB/AC=BD/CD，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质，请你根据上述信息，求解如下问题：

如图(2)，在△ABC中，BD=2，CD=3，AD是△ABC的内角平分线，则△ABC的BC边上的中线长l的取值范围是_______.

首先，要弄明白三个问题：

(1)为什么AD是△ABC中∠BAC的内角平分线时，有AB/AC=BD/CD?

这是因为S△ABD/S△ACD=AB/AC, 根据角平分线的性质，点D到AB，AC的距离相等，即高相等，所以三角形面积比等于底的比。

又S△ABD/S△ACD=BD/CD. 很明显的，两个三角形在BD和CD上的高线是相同的，因此面积比等于底的比。等量替换就有题干中的比例关系。

(2)外角平分线“类似的性质”是什么？

其实就是AB/AC=BE/CE,

同样是因为S△ABE/S△ACE=AB/AC, (与上面同理，但比较难判断)

S△ABE/S△ACE=BE/CE. 同样等量替换就有类似的性质。

(3)AB/AC=BE/CE是否适合图(2)?

先补全图(2)

可以发现，虽然图形发生了变化，AB在图(1)中较长，而在图(2)比AC短，外角平分线的方向也发生了变化，但仍有AB/AC=BE/CE.

∴AB/AC=BE/CE=BD/CD=2/3.

∵CE=BE+BD+CD=BE+5,

∴BE/(BE+5)=2/3, 解得BE=10.

∴DE=BE+BD=12为定边,

又∠DAE=∠BAE+∠BAD=90⁰为定角, (三角形内角的一半与相邻的外角的一半互为余角，因为内角和相邻的外角互补)

∴点A的轨迹是以DE为直径的圆, （定边对定角时，角的顶点在圆上，若定角为直角，则定边是直径）

根据点到圆上距离的最值在直径所在的直线上(或说点到圆上距离的最值在过圆心的直线上), 所求的中线，就是BC的中点到A的距离最小到D点，最大到E点。但A点在D，E时不能构成△ABC，所以中线l取不到这两个最值。

因此2.5-BD<l<2.5+BE, （2.5就是BC的一半）

即0.5<I<12.5.

凡是数学题，讲通透了，再难也就都比较容易了，不过这种题出现在中考中，对绝大多数考生来说就是很难的。请不要用天才的思维或者培训辅导机构的思维来评价一道题。