一线三垂直模型构造全等三角形

本文摘自《初中数学典型题思路分析》的计划增补几何模型资料！

一线三垂直模型构造全等三角形

【模型说明】

一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转90º，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。

【知识总结】

过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线.

过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）.

常见的两种图形：

【典型例题1】

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=3，设∠BCD=α，以D为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE.

当α=45°时，求△EAD的面积.

当α=30°时，求△EAD的面积

当0°＜α＜90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系，若有关，写出△EAD的面积S与α的关系式，若无关，请证明结论.

【答案解析】

∵AD∥BC,DG⊥BC

∴∠GDF=90°

又∵∠EDC=90°

∴∠1=∠2

在△CGD和△EFD中

∠DGC=∠DFE

∠1=∠2

CD=DE

∴△DCG≌△DEF

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∴EF=CG

∵AD∥BC,AB⊥BC,

AD=2，BC=3

∴BG=AD=2

∴CG=1，EF=1，△EAD的面积与α无关

【典型例题2】

如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE,正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG交于点P，求证：BC=2AP

【答案解析】

过点G作GM⊥AP于点M,过点E作EN⊥AP交AP的延长线于点N

∵四边形ACFG是正方形.

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∴AC=AG,∠CAG=90°

∴∠CAH+∠ACH=90°

∴∠ACH=∠GAM

在△ACH和△GAM中

∠AHC=∠GMA

∠ACH=∠GAM

AC=GA

∴△ACH≌△GAM

∴CH=AM,AH=GM

同理可证△ABH≌△EAN，△EPN≌△GPM∴NP=MP

∴BC=BH+CH=AN+AM=AP+PN+AP-PM=2AP