【知识点精讲】函数极限的计算
极限
1.极限的定义与性质
2.函数极限的计算
3.数列极限的计算
4.极限的应用
上周讲了第一部分极限的定义和极限的三条性质，其中ε-δ语言需要理解掌握，并且可以很熟练的写出来，还要掌握极限的三条性质：唯一性、局部有界性、局部保号性。极限这部分在考研出题中一般定义和性质这部分会考一个四分的小题，在函数极限的计算或者数列极限的计算这部分会考一个十分的大题，所以这部分一定要重点掌握。
函数极限计算的步骤
化简先行：切记，化简是第一步。具体的方法有：（1）提出极限不为0的因式 （2）等价无穷小的替换 （3）恒等变形 【特别注意】拿到一个题目一定要先看能不能化简，如果不化简直接做，计算可能会非常麻烦，费时费力还可能做不出结果。
判别类型：一共有七种未定式：
用相应的工具进行计算：一般工具有四则运算法则、等价代换、洛必达法则、泰勒公式。
接下来就用18讲上几个典型的例题带着同学们一起把函数极限计算方法介绍一下。
这是零比零型未定式，也是典型的头轻脚重式子，对于这种极限直接用洛必达法则求会非常麻烦，一般利用倒代换将式子改成头重脚轻形式，再解答就比较简单啦。答案解析如下:
这是一道无穷比无穷的题目，由于x趋向于负无穷，也就意味着x<0,所以分子是根号差形式，一般见到根号差，先用有理化作化简。答案解析如下：
答案中分子有理化之后做了一步t=-x的替换，之后上下同时除以一个t^2，把t代入既得结果。
这是一道零乘以无穷的未定式形式，同学们先看解析：
这个解答过程想必都看的懂，一些同学肯定也做过这道题目，我在这里就想强调一下最后一步，
这个极限为什么等于0？t趋向于0正的时候，t趋向于0，lnt趋向于负无穷，这两者到底谁起主导因素呢？这里需要重点讲一个重要的公式：极限x趋向于0正的时候，x^α(lnx)^β=0,这里的α和β都是大于零的。（公式打不出来，暂时用文字代表啦，同学们需要自己写下来并牢记这个公式）这个公式为什么成立，这就跟函数趋向的速度有关啦，x趋向于0正时，幂函数趋向于0的速度远远大于对数函数趋向于无穷的速度，不是幂函数趋向的速度有多快，而是对数函数趋向于无穷的速度是极慢极慢的，所以这里幂函数起主导因素。做大题的时候同学们需要会上面的解题步骤，但是在选择填空中看到这样的函数的时候，可以直接得出结果，省去很多时间，所以同学们需要牢记这个重要的结论。
这是一道无穷减无穷的题目，对于这种未定式，一般有两种解题思路：
（1）有分母的，先通分再计算
（2）没有分母的，创造分母再通分计算，一般创造分母的方法是倒代换
再来看这道题的解析就没什么难度啦
5.
这种类型未定式以后会经常遇到，这是一道
未定式，包括另一种未定式
，见到这两种未定式基本都要先恒等变形成
再继续计算，通常把e的肩膀上的东西单独拿出来求极限，正如这个题先把原极限恒等变形：
，然后再把e的肩膀上的东西单独拿出来求极限
6.
这是
型未定式，也是幂指函数的极限，但是这种未定式一般恒等变形成
再计算，解法如下：
求极限的倒数第二步：tanx-x～1/3x^3，所以常用的等价无穷小需要熟稔于心，这样做题速度自然也就上去了。另外最后的海涅定理也就是平时所说的归结原则，在后续数列极限的计算中会多次提到这种方法。明天将继续给同学们讲解数列极限的计算