等腰直角三角形系列问题(3)

在说明第三个等腰直角三角形的典型问题之前，我们先看一个中考几何压轴题，题目是大连市2011年的第25题，从中，我们能否得到一点什么启示呢？

我们做一个平移（这是几何中，三大变换之一），标准点说，应该是伸缩变换：

放大图1图2中的△BDE，使得点D与点C重合，也就是伸缩比为BC：BD，图形就变为如下的等腰直角三角形典型问题：

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CF平分∠ACB，BE⊥CF，垂足为E.

求证：CF=2BE.

分析一：（用旋转变换思想）

看条件：AB=AC，∠BAC=90°

只要是等腰三角形，我们就能作以顶点为旋转中心的旋转对称图形。

在这里，我们就作以点A为旋转中心，旋转角为90°的旋转对称图形。

解法⒈如果我们选择旋转△ACF，如下图：

旋转过程就是：

将△ACF绕点A逆时针旋转90°到△ABD。

这么想没有任何问题，可是用逻辑推理说明本题，这样却不行。

准确的说法是这样的：延长CA和BE，相交于点D。

再具体的说明过程，就请大家通过两次全等说明吧！

解法⒉如果我们选择旋转△AEB，如下图：

旋转过程就是：

将△AEB绕点A顺时针旋转90°到△ACD。

考虑到这样的旋转后，应该有结论∠ADC=∠AEB成立，还可以可以进一步得到∠DAE=90°。

因此，本解法的辅助线：连接AE，过点A作AE的垂线，与CF相交于点D。

一组全等△ACD≌△ABE很容易推导出来，接下来，我们只要在得到的两个三角形全等情况下，进一步说明点D是CF的中点，也就是CD=DF=AD.

分析二：

看结论：CF=2BE。

很容易想到它的什么方法，是截长补短里的特殊情况：取中点或倍长。

其中，倍长BE的情况，可以看成是类似于上面的解法1。

而取中点，就与上面的解法2类似了。

只是叙述方式有区别而已，其他都是类似的。尽管如此，我们还是有个取中点的好解法，它和上面两个是完全不一样，而独立存在的好方法。

解法⒊取CF的中点D，过点D作CF的垂线，而与BC交于点G。

剩下的问题，只要说明△CDG≌△BEF就可以了，而说明这两个三角形全等，仅仅费心于如下一串等式的说明：CG=GF=FB。

让我们再回到开始的大连中考题，据此三个解法，只要随便拿出其中一个，再把原来的放改为缩就可以理解了。比如：过点D作DM⊥AB，就把中考题，改变成如上的典型问题了，接下来你应该知道干嘛了吧？