债券价格变动近似计算

我们知道，债券价格会受到利率变动的影响。期限越长，债券价格对利率变动的敏感性就越强。利用久期，可以量化分析利率变动对债券价格的影响程度，计算公式如下：

△p/p=-Dm×△r,非常简单的一个公式，其中，Dm=D/(1+r)被称为修正久期，△r为到期收益率变化量，它等于变化后的新的收益率减去原来的收益率，反映了到期收益率变化的绝对幅度。△p/p为债券价格的变动比率是一个相对数。这个公式怎么来的呢？可以根据债券理论价格计算公式，对利率r求导，然后等式两边同时除以价格P，整理后可得。这个公式是什么含义呢？该公式的含义:债券价格变动的百分比(相对数)，等于修正久期与到期收益率变动绝对值的乘积。修正久期越大，利率变动对债券价格的影响程度就越大。所以说，修正久期综合反映了债券利率变动风险的大小。公式中的负号，表明债券价格变动与利率变动的方向是相反的。

注意，这个公式只是对债券价格受利率波动影响程度的一个近似计算。更准确的数值应该是要用债券理论价格公式来计算。那么，这个近似值，与理论值之间的差距有多大呢？让我们通过一个例题来说明：

例:假设票面价值为1000元的债券，期限为20年，每年付息一次，票面利率为3.5%，到期收益率为5%。问: (1 )该债券的价格是多少元?修正久期是多少年?( 2)如果到期收益率分别上升、下降10个基点，该债券价格变化率的近似值和理论值各是多少?( 3 )如果到期收益率的升降幅度扩大到100个基点，结果又是多少?

我们先做题目中的第1问，(1 )该债券的价格是多少元?修正久期是多少年?

使用前面学过的公式，计算出债券价格为813.07元，久期为14.05年，修正久期为13.38年，因为期限有20年，计算量比较大，推荐使用EXCEL中的函数，比如用PV函数计算价格，用DURATION函数计算久期，用MDURATION函数计算修正久期

题目中的第2问和第3问，都是要计算到期收益率变动对债券价格的影响程度，近似值的计算公式，就是本节课刚学的那个公式：△p/p=-Dm×△r 我们知道，收益率变动1个基点，等于0.01%，所以上升10个基点时，△r=0.1%，下降10个基点时，△r=负的0.1%，变动100个基点△r就等于正负1%，价格变化率的理论值要怎么计算呢？

按变化后的到期收益率，，使用理论价格公式计算出新的债券价格，新的价格减去原来的价格，就是△P，再用△P除以原来的价格就是债券价格的变化率。为方便比较，我把具体计算结果列在一个表格中，

从表格中可以看到，当到期收益率由5%上升到5.10%，债券价格从813.07元，下跌到802.28元，跌幅是1.33%，用久期估算的跌幅是1.34%，二者比较接近。当到期收益率下降到4.90%时，用债券公式计算的价格涨幅是1.35%，与久期估算的1.34%也非常接近。但是，当到期收益率的升降幅度达到1%时，估算值与理论值的差距就比较大了。你看估算的涨幅为13.38%，而理论值达到14.63%，跌幅的估算值是13.38%，而理论值只有12.28%，此外，你有没有发现，表中的数字还有一个规律，你看最后一行，用久期估算的涨幅数字与跌幅数字完全相同。为什么呢？你想一想它的计算公式就会明白的。我在EXCEL中，计算了更多的收益率变动数值如下图：

从图中可以直观地看到，当到期收益率发生变动时，用久期估算的债券价格变化率呈直线状，就是图中的红线。但是用债券公式计算的价格变化率是一条曲线，二者仅仅在到期收益率的变动幅度非常微小时才比较接近。所以，当到期收益率只是小幅变动时，久期估算的近似值比较接近理论值。如果到期收益率变动幅度较大，久期估算的近似值就会出现较大的偏差。从这张图中，还能看出来偏差的方向来。你看图的右下部分，红色直线在蓝色曲线的下方，这表明久期估算的跌幅，要大于理论值。再看图的左上部分，红色直线在蓝色曲线的下方，这表明久期估算的涨幅，要小于理论值。

当久期估算有偏差时，可以找凸度来帮忙修正一下，凸度是什么呢？我们知道，债券价格与到期收益率之间的关系，不是线性的而是一条曲线，这条曲线凸向坐标原点，这种现象称为债券的凸性。而凸度( convexity)就是反映这条曲线的弯曲程度，即凸性大小的重要指标。

凸度的计算公式如下：

对比一下久期的计算公式，久期D=时间t乘以权重W

计算凸度时，除了有t乘以W，还要乘以(1+t)，然后再除以(1+r) 的平方，久期可看作是债券价格对到期收益率小幅波动敏感性的一阶估计，凸度则是对债券价格利率敏感性的二阶估计，利用它可以对久期估算的偏差进行修正。单独用久期对债券价格变化率的近似计算公式时：

下面我们还是接着刚才的例题，来验证一下凸度，对久期估算偏差的修正效果：例:假设票面价值为1 000元的债券，期限为20年，每年付息一次，票面利率为3.5%，到期收益率为5%。如果加入凸度会怎样呢?

首先计算凸度的数值：C=234.92,然后，利用久期和凸度的估算公式，分别计算到期收益率变动10个基点和100个基点情形下的债券价格变化率。具体计算结果见下表：

从表格中可以看到，当到期收益率变动10个基点时，久期加凸度共同估算的数值，与理论值完全一致，变动幅度扩大到100个基点时，估算值与理论值的差异也比较小。更详细的情况请你观察这张图：

图中的绿色曲线，就是久期和凸度的共同估算值，它与表示理论值的蓝色曲线非常接近，尤其是在中间部分，此时到期收益率的变动幅度不大，随着到期收益率变动幅度的加大，两条曲线渐渐分离，此时估算值与理论值的差异逐渐加大，说明凸度对久期估算偏差的修正效果也是有限的。

总结
1.利用久期可以量化分析利率变动对债券价格的影响程度。

2.计算公式表明，债券价格变动的百分比，近似等于修正久期与到期收益率变化量的乘积。

3.当到期收益率只是小幅变动时，久期估算的价格变动百分比，与用债券价格公式计算的理论值比较接近。

4.凸度反映了债券价格-收益率曲线的弯曲程度。在久期估算公式中加入凸度，可以对久期估算的偏差进行修正。但在到期收益率大幅变动时，修正效果也有限。