用收益率曲线给债券定价

我们知道,收益率曲线反映了零息债券的到期收益率与到期期限之间的关系。收益率曲线的形状有向上倾斜、向下倾斜、水平型和驼峰型等,最常见的是向上倾斜的,利用收益率曲线,还可以给附息债券进行定价。让我们从一道例题讲起:

例:假设某附息债券面值为100元,年票面利率为5%,每年付息一次,3年后到期。问:该债券的合理价格是多少?

这道题看起来,是以前学过的债券定价的题目,你能计算出来吗?你可能已经发现了,题目中没有给出,期望的年收益率是多少?缺少收益率,就无法确定折现率,债券合理价格就无从计算。好,那我把题目再修改一下,你看,这是我修改后的题目:

例:假设某附息债券面值为100元,年票面利率为5%,每年付息一-次,3年后到期。已知目前面值为100元的1年期、2年期和3年期零息国债的价格分别是95.24元、89元和81.63元。问:该债券的合理价格是多少?该债券的到期收益率是多少?

问题变成了两个,既要计算债券的价格,又要计算到期收益率。你可能会困惑,前面学过的债券定价公式中,要么是已知收益率,要求债券价格;要么是已知债券价格,要求收益率。现在债券价格和收益率都是未知的,如何计算呢?别着急,你再仔细看题目,还有一个已知条件。已知目前面值为100元的1年期、2年期和3年期零息国债的价格分别是95.24元、89元和81.63元。根据这句话的内容,你是不是可以计算出三个即期利率来?把这三个即期利率作为折现率是不是可以计算出债券的合理价格?合理价格有了,是不是可以计算出债券的到期收益率?

第一步,我们把三种零息国债的到期收益率计算出来,这三个到期收益率也称为即期利率,根据公式,我们计算得到:

1年期的即期利率S1=5%,2年期的即期利率S2=6%,3年期的即期利率S3=7%,如果根据三这个即期利率,来画一条收益率曲线,这条收益率曲线是什么开形状的?很显然,因为S3>S2>S1,所以这是一条典型的向上倾斜的收益率曲线。

接下来,第二步,以刚才得出的三个即期利率为折现率,计算该附息债券的合理价格,计算公式如下:

你看,第1笔现金流债券利息C1发生在第1年年末,使用1年期的即期利率S1作为折现率,第2笔现金流利息C2发生在第2年年末,使用2年期的即期利率S2作为折现率,第3笔现金流利息C3和面值M都发生在第3年年末,使用3年期的即期利率S3作为折现率,现金流的时期与折现率的时期吻合得非常好。

为何S2后面有个2次方?S3后面有个3次方呢?因为S2 、S3它们都是年利率。把数字代入公式,计算出债券价格是94.92元,

第三步,根据刚才计算得出的债券价格,计算债券的到期收益率,计算公式如下:

利用前面学过的插值法,EXCEL的IRR函数或RATE函数,可求出到期收益率y=6.93%,请注意,这个到期收益率6.93%,与前面计算债券价格用到的三个折现率5%、6%、7%都不相等,这个到期收益率可看作是前面这几个折现率的加权平均数。因为在到期日产生的现金流最大,所以这个到期收益率6.93%与第3年的折现率7%最为接近,但是并不相等。每一年的到期收益率都等于6.93%,如果画成收益率曲线是一条水平的收益率曲线。

在刚才第二步,计算债券价格时,还有一种计算方法:

首先计算出S1 、S2 、S3、三个即期利率后,再进一步计算出远期利率f1,2和f2,3。根据远期利率公式我们计算得到,f1,2=7.01%,f2,3=9.03%,然后根据下面的公式计算债券价格

计算结果与前面的相等,你看,公式中,对第2笔现金流C2进行折现时分了两步走,第一步是将第2年年末的C2,以f1,2为折现率,折现到第1年年末,第二步再接着以S1为折现率,折现到期初,类似的,对第3笔现金流分了三步走,依次使用了f2,3,f1,2和S1,三个不同的折现率进行折现,做到了根据不同时期的现金流匹配相应时期的折现率。

现在把这几个附息债券的价格计算公式放在一起,请自己琢磨一下它们的相同点和不同点:

你看出来了吗?从公式二到公式五,这四个公式是等价的,只是在即期利率和远期利率之间作了转换,如果你还没看出来,请回忆一下即期利率和远期利率的转换公式,

总结:

1.在以前学过的附息债券定价公式中,为简单起见,假设各期现金流的折现率都是相等的,意味着假设收益率曲线是水平直线型的。实践中,这种水平型收益率曲线是比较罕见的。

2.如果收益率曲线不是水平的,可以把收益率曲线反映的不同期限的即期利率作为折现率,对应着附息债券产生的各期现金流,逐一折现再求和得到债券的合理价格。

3.利用即期利率和远期利率的转换公式,折现率也可以使用远期利率。

4.由债券的合理价格反推出来的到期收益率,是各期折现率的加权平均数。

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