【七下数学】三角形：内角和、外角、外角和定理
在学习几何之后，以平行为基础，便可继续推导几何图形中的一些结论，比如三角形的角的三个基本结论．
三角形内角和定理：三角形内角和为180°．
法1：构造平行线
如图，过点A作BC的平行线，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，（两直线平行，内错角相等）
∴∠A+∠B+∠C=∠1+∠BAC+∠2=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°．
法2：构造平行线
如图，过点A作BC的平行线，并延长BA，
证明过程同法一．
法3：构造平行线
如图，过点A作BC的平行线，
∴∠C=∠1，
∴∠A+∠B+∠C=∠BAC+∠B+∠1=180°．（两直线平行，同旁内角互补）
法4：构造平行线
如图，在线段BC上取一点P，过点P分别作PM∥AB，PN∥AC
∴∠B=∠3，∠C=∠1，∠A=∠PMC=∠2，
∴∠A+∠B+∠C=∠2+∠3+∠1=180°．
虽然列举了4种方法，但其实都是一个思路，构造平行线，将三角形三个内角转化为有特殊位置关系的角组合．
所以我也曾经想过，是否有不用平行的方法来证明内角和为180°？
法5：帕斯卡的做法
三角形内角和等于两个直角三角形内角和减一个平角．
在矩形EFGH中，连接EG，可得△EFG和△EGH形状大小完全相同，故内角和也相同，矩形内角和为360°，所以直角三角形内角和为180°，且对于任意直角三角形都可作如上证明．
∴∠A+∠B+∠C=2×180°-180°=180°．
但这里真的没用平行吗？其实有一个前提我们还并不知晓，为什么矩形的4个角都是直角呢？换句话说，如何画出一个矩形？
参考这个三角形的内角和居然不是180°！本文不再赘述．
三角形外角定理：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和．
在△ABC中，延长BC，∠ACD是三角形的一个外角，则∠A+∠B=∠ACD．
法1：利用内角和定理
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∠ACD+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B=∠ACD．
法2：构造平行线
如图，过点C作CE∥AB，
则∠A=∠1，∠B=∠2，
∴∠A+∠B=∠1+∠2=∠ACD，
∴∠A+∠B=∠ACD．
三角形外角和定理：三角形外角和为360°．
在△ABC中，∠1、∠2、∠3分别是∠A、∠B、∠C的外角，则∠1+∠2+∠3=360°．
法1：利用内角和定理
法2：利用外交定理
法3：构造平行线
法4：构造平行线
法5：构造平行线
在△ABC内任取一点P，过点P分别作PM∥AB，PN∥BC，PQ∥AC．
法6：从旋转的角度来看
来源 有一点数学
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