【七下数学】三角形:内角和、外角、外角和定理

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在学习几何之后,以平行为基础,便可继续推导几何图形中的一些结论,比如三角形的角的三个基本结论.

01
内角和定理

三角形内角和定理:三角形内角和为180°.

法1:构造平行线

如图,过点A作BC的平行线,

∴∠B=∠1,∠C=∠2,(两直线平行,内错角相等)

∴∠A+∠B+∠C=∠1+∠BAC+∠2=180°,

∴∠A+∠B+∠C=180°.

法2:构造平行线

如图,过点A作BC的平行线,并延长BA,

证明过程同法一.

法3:构造平行线

如图,过点A作BC的平行线,

∴∠C=∠1,

∴∠A+∠B+∠C=∠BAC+∠B+∠1=180°.(两直线平行,同旁内角互补)

法4:构造平行线

如图,在线段BC上取一点P,过点P分别作PM∥AB,PN∥AC

∴∠B=∠3,∠C=∠1,∠A=∠PMC=∠2,

∴∠A+∠B+∠C=∠2+∠3+∠1=180°.

虽然列举了4种方法,但其实都是一个思路,构造平行线,将三角形三个内角转化为有特殊位置关系的角组合.

所以我也曾经想过,是否有不用平行的方法来证明内角和为180°?

法5:帕斯卡的做法

三角形内角和等于两个直角三角形内角和减一个平角.

在矩形EFGH中,连接EG,可得△EFG和△EGH形状大小完全相同,故内角和也相同,矩形内角和为360°,所以直角三角形内角和为180°,且对于任意直角三角形都可作如上证明.

∴∠A+∠B+∠C=2×180°-180°=180°.

但这里真的没用平行吗?其实有一个前提我们还并不知晓,为什么矩形的4个角都是直角呢?换句话说,如何画出一个矩形?

参考这个三角形的内角和居然不是180°!本文不再赘述.

02
外角定理

三角形外角定理:三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和.

在△ABC中,延长BC,∠ACD是三角形的一个外角,则∠A+∠B=∠ACD.

法1:利用内角和定理

∵∠A+∠B+∠ACB=180°,

∠ACD+∠ACB=180°,

∴∠A+∠B=∠ACD.

法2:构造平行线

如图,过点C作CE∥AB,

则∠A=∠1,∠B=∠2,

∴∠A+∠B=∠1+∠2=∠ACD,

∴∠A+∠B=∠ACD.

03
外角和定理

三角形外角和定理:三角形外角和为360°.

在△ABC中,∠1、∠2、∠3分别是∠A、∠B、∠C的外角,则∠1+∠2+∠3=360°.

法1:利用内角和定理

∠BAC+∠1=180°,
∠ABC+∠2=180°,
∠ACB+∠3=180°,
∴∠1+∠2+∠3=3×180°-180°=360°.

法2:利用外交定理

∠BAC+∠ABC=∠3,
∠BAC+∠ACB=∠2,
∠ABC+∠ACB=∠1,
∴∠1+∠2+∠3=2(∠A+∠B+∠C)=2×180°=360°.

法3:构造平行线

延长BA,过点A作AN∥BC,
则∠2=∠MAN,∠3=∠CAN,
∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠MAN+∠CAN=360°,
∠1+∠2+∠3=360°.

法4:构造平行线

在BC边取一点P,作PM∥AB交AC于M点,作PN∥AC,
∴∠1=∠AMP=∠MPN,
∠2=∠4,∠3=∠5,
∴∠1+∠2+∠3=∠MPN+∠4+∠5=360°.

法5:构造平行线

在△ABC内任取一点P,过点P分别作PM∥AB,PN∥BC,PQ∥AC.

则∠1=∠AMP=∠4,
∠2=∠BNP=∠5,
∠3=∠CQP=∠6,
∴∠1+∠2+∠3=∠4+∠5+∠6=360°,
∴∠1+∠2+∠3=360°.

法6:从旋转的角度来看

BA方向旋转到AC,从AC旋转到CB,从CB旋转到BA,回原方向,旋转一周,
可得∠1+∠2+∠3=360°.
显然法1、2优于法3-5,这就好比从山腰到山顶明显轻松于从山底到山顶,定理的价值就在于我们需要逻辑但不必拘泥于逻辑.
我们以平行作为几何开篇,从“第五公设”出发,开始着手研究我们最熟悉也是最简单的三角形,以平行为基础探究三角形中的结论,摸清两者之间从因到果的关系,不失为一个讲解逻辑推理的好例子.

来源 有一点数学

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