中考数学压轴题分析：相似三角形的存在性问题5

相似三角形的存在性问题是一个热点也是难点，反复出现。当然，解决问题的本质还是利用基本的性质与判定。本文内容选自2020年随州中考数学压轴题。不仅涉及相似三角形的存在性问题，而且第二问还有绕动点旋转产生的点落在曲线上的问题。这个也是之前出现多次的。一起来领略下吧。

【中考真题】

（2020·随州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，其图象与轴交于点和点，与轴交于点．

（1）直接写出抛物线的解析式和的度数；
（2）动点，同时从点出发，点以每秒3个单位的速度在线段上运动，点以每秒个单位的速度在线段上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，连接，再将线段绕点顺时针旋转，设点落在点的位置，若点恰好落在抛物线上，求的值及此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，设为抛物线上一动点，为轴上一动点，当以点，，为顶点的三角形与相似时，请直接写出点及其对应的点的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）

【分析】

题（1）把对称轴与点B的坐标代入，即可得到解析式。再求出点A、C的坐标，得到线段长度，易得∠CAO的度数为45°。
题（2）使得旋转后的点D落在抛物线上，那么需要用t来表示点D的坐标。根据题目条件，利用速度和时间，得到点N与M的坐标。由于MN=MD，且MN⊥MD，那么可以考虑构造三垂直，易得点D的坐标。然后再代入抛物线的解析式即可。

题（3）中△MDB是形状大小固定的，根据题（2）的结论可以得到点M、D的坐标。进而可以得到△MDB的三边长度与角度大小（非特殊角用三角函数表示）。而△CPQ只有点C是定点，点P在抛物线上，点Q在y轴上。那么可以先利用对应关系，进行分类讨论。如∠PCQ=∠MDB，∠PCQ=∠MBD，以及∠PCQ=∠BMD。然后利用夹角相等，两边成比例，即可得到等量关系求解。

如上图所示，假设∠PCQ=∠MDB，画出图形（2种情况），过点P作y轴的垂线，过点B作MD的垂线，利用相似，可以得到对应边的比例，然后求出点P的坐标。

那么就知道两个三角形的相似比了。进而易得点Q的坐标。分类情况比较多，只需按要求写出4个即可。
【答案】解：（1）由题意：，
解得，
抛物线的解析式为，
令，可得，解得或4，
，
令，得到，
，
，
．

（2）如图1中，过点作于，过点作于．

，
，，
，
，
，
，，
，，，
，
，
，，，
，
，
，故可以解得，
经检验，时，，均没有达到终点，符合题意，
．

（3）如图中，当点在点的下方，点在的右侧，时，

取，，连接，过点作交于，
，，，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，可得，，
直线的解析式为，
由，解得或，
，，，
，
当或时，与相似，可得或，
或．
如图中，当点在点的下方，点在的右侧，时，设交轴于．

，
，
点与重合，
直线的解析式为，
由，解得或，
，
，
当或时，与相似，可得或，
或．
当点在点的下方，点在的右侧，时，同法可得，，或，
当点在点上方，时，同法可得，或，
当点在点上方，时，同法可得，，或，
当点在点下方，点在轴的左侧时，时，同法可得，，或．