你问我究竟爱你有几分？决策树模型给你答案
每天聪明一点点，这是大辉总结的多元思维模型的第24篇。
昨天我们学习了一些概率基本知识，今天就让它发挥出巨大的威力。在我们对未来一无所知，或者遇到意外情况和不确定状况时，可以借助决策树模型做选择。在遇到上述情况时，你优雅的拿出笔在纸上画了几条线，就知道了怎样做是最好的。
而那些没有概率知识和模型的人，会两手一摊，没有办法，或者通过抛硬币来做出人生中的一些重要决定。今天的内容较长，但也不难理解，你可以拿出笔来边看边画，熟悉这个模型，便于以后应用在自己的工作和生活中。
简单的决策树模型还有两种用途：第一种是让我们推测小概率事件，通过研究他人的选择，了解他对世界的看法，或解释已经发生的事情。第二种是它还可以让我们更多的了解自己内心的想法，非常有趣，我们都会举例来说明。
决策树模型是什么？
其实很简单，比如你在逛街，看了某种商品，此时你要做一个选择，买不买。假如买的回报是5，不买回报是0，很明显，你会选择买下它。如下图：
决策树的分支就是我们可选择的事件以及由事件而形成的结果。我们会选择让自己回报最大的那个选项。这不难理解，决策树就是帮助我们在出现意外和不确定事件时，如何做出好的选择。我们来看一个简单的例子：
用途1：用决策树做出更好的选择
案例一：
假设你周末要去另一个城市跟对象约会，你现在需要买张火车票：
1）你可以买下午三点钟的车票，每张200元；
2）你离火车站较远，有40%的概率赶不上这趟三点钟的车；
3）你还可以买四点钟的火车，车票为400元，你肯定能坐上这趟车。
那么，现在问题来了，你究竟要不要花200元买三点钟的车票呢？
如果你买三点钟的票，很有可能只花200元就搭上了约会的火车，这中情况当然是最理想。
但需要考虑的是有60%的可能性赶不上这趟车，如果你三点钟前没到火车站，不但200元打了水漂，你还得要再买一张400元的四点钟的票，才能见到日思梦想的那个TA。那究竟买还是不买呢，这是个问题。
用决策树来分析这个问题，其实非常简单。我们先画出树型：
画一个小方框，代表事件，从方框中引出两个分支，一条线是买，一条线是不买，买了后会有两种结果，我们用圆圈来代表。再从圆圈引出两条分支，一种是赶不上车，总共要花600（200+400）元才能坐上火车，把花费金额标在分支的末端；还有一种是你赶上了火车，只花200元达成目的。
我们把两种结果发生的概率也标注在分支线上，第一种赶不上的概率是40%，依据概率公理，赶上的几率就是1-40%=60%。
已经画好了决策树，将可能结果及发生的概率都标在了图中。见证奇迹的时刻到了：
很明显，如果你不买三点钟的票，直接购买四点钟的票就需要花400元才坐上火车。如果你买了，有60%的概率是花200元搭上火车；还有40%的几率是花600块才能搭上火车。
把这两种情况加在一起，即200×60%+600×40%=360，也就是说，买了三点钟票的最后花费是360元，要比直接买四点钟的400元花费少，因此，最后的结果是你应该买这趟200元的票。
神奇不神奇，刺激不刺激，两条线就有可能让你节约一小时和200元。谁说数学没有用，谁说概率没有用？
这个例子比较简单，因为只有一层分支，我们再来看个稍微复杂有两层分支的（其实也不难）。
案例二：
假设你们学校现在有份5000元的奖学金发放，这是一笔不小的钱，很多同学都想要。学校规定初始申请人数是200人，你打听了下，还不够200人，你还可以申请。
具体申请流程这样的：需要先写一份2页的初始申请，再从初始申请的200人中审核选出10人进入第二轮，这10人还需要写10页的最终申请，竞争一份5000元的奖学金。
那你是写申请还是不写申请呢？
假设你写2页的初始申请需花费20元。因为有了第一次写的大纲，写最终的10页申请时，你只花40元就能搞定。我们把这些信息都列出来方便画决策树：
奖金额：5000元
初始申请人：200人
初始申请花费：20元
参与终审人数：10人
10页最后申请花费：40元
好，下面我们用决策树模型来解决这个看起来好像有点复杂的问题：
Step1：先将各种事件及结果画出决策树。
首先，你可以申请，也可以不申请，我们引出两个分支表示两种选择，如果你申请，也有两种结果，一种是通过初审，一种是没有通过初审。假如通过了初审，你此时还需要决定是否参与终审，当你提交最后的10页终审请求时，你还面对两种可能，一种是成功，另一种就是失败。画出这个决策树不难，如下图：
下一步，我们需要知道各分支的回报和概率。
Step2：写出回报和概率。
如果不申请，那么你就没有任何收益，也没损失什么，我们将收益写为0。若提交了初审，一种结果是没有通过，那么你就损失了第一次写申请花的20元，回报是就是负的，我们记作-20。因为申请通过的概率只有10/200,即5%,所以未通过的几率就是（1-5%），即95%，我们将这两个概率也填在分支树上。
另一种结果是你通过了初审，假如此时你放弃了，那么你的回报还是-20。你不是个半途而废的人，所以要继续下去。终审是从10个人里面选出一个，成功的概率就是10%，失败的概率是90%，而失败的回报就是你两次写申请花费的成本（20+40）元，共60元，这个回报也是负的，记为-60。
假如你非常幸运，最终成功从10个人中胜出，那么回报就是总奖金减去你的花费，即5000-60=4940。到这里，我们有有了各分支的回报和概率，但这还不能让使我们明确选择那个，见证奇迹的时刻第三步来了：
Step3：从树的最末端开始（最右边的分支）反向求解。
我们从最末端开始分析，最末端分支计算得出：
4940×10%+（-60）×90%
=494-54
=440
从最末端分析，显然应该写最终的10页申请，为了看上去更为清晰简洁，将决策树做个简化。如下图：
不要停，继续向前，初始申请的回报现在就很容易的算出来：
440×5%+（-20）×95%
=22-19
=3
这个数值3就是你写申请的回报，是正值，虽然不大，但还是要比不申请强。如果你是理性的，你应该去申请这5000元的奖学金。
你还可以考虑一下，如果学校允许初始申请人数是300或400人时，你申请的回报还是正的吗？有兴趣的可以用决策树来计算一下。
上面两个例子中我们用决策树分析了一件事值不值得去做。决策树还可以帮助我们发现他人认为某件事发生的可能性。
2.用决策树推断概率：
假如现在有位朋友告诉你，有个非常棒的投资机会，只需要投入2000元，就能获得50000元的收益，他已经投了，鼓励你也投。你对这个投资兴趣不大，但对你朋友能够有多大几率收回成本很有兴趣。
决策树能帮你轻松的解决这个疑问。假设投2000后，能获得50000元收益的概率为P，那么不能获得的概率就是1-P，画出决策树，并将有关数据标在上面，如下图：
简单计算一下，投资的回报是：
50000P+（-2000）（1-P）
=52000P-2000
既然你的朋友投资了，说明他期望的收益为正，即52000P-2000 > 0，简化为 52P>2，即P>2/52，约为4%的概率，即他期望的投入2000元收回50000的几率大于4%。
这就是我们可以从他人的决策中来推断他的想法，你的朋友认为这笔投资成功的几率超过4%（他可能也没有算），不然他也就不会投钱进去了。我们发现决策树很神奇，即使我们不知道真正的概率，但可以从他人的行动中，推测出他对这个概率的期望。
我们从决策树中可以推测出可能的回报几率，还可以推测出你自己认为的回报。非常有意思，来看一个例子。
3.由决策树推断回报
假如你一个月前预定了张回家看望父母的机票，在起飞的早上，天气很恶劣，你跟航空公司联系，得知你买的这趟航班有1/3的几率可以起飞。那你现在去不去机场呢？
如果你不去机场，我们用决策树就能推断出你自己有多想回家（比天桥算卦的准很多）。
假设你认为回家看望父母的价值是V，去机场的花费为c。我们画出决策树：
那么能得出去机场的预期收益为：
（V-c）1/3+(-c)2/3
=V/3-c
由于你没有去机场，所以等式应是 V/3-c < 0,得出V<3c，也就是说你认为看望父母的价值小于去机场支出的3倍，这说明你没有那么想回家。
假如你冒着恶劣的天气去了机场，那么就是V>3c，这个不等式还意味着如果你在去机场路上花的越多，说明你越想回家，越想见到父母。当然，感情不能单纯用物质去衡量，但这提供了一个探究自己内心真实想法的思路。
———今日小结———
决策树分析的三步：
第一步画出决策树，
第二步分析各项的概率和收益支出，
第三步反向求解。决策树的三个作用：做出更好决策、推断事件发生的几率、推断回报大小。
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