中考模拟：经典好题

知识点：中点问题、手拉手模型、三角函数、旋转变换、线段最值

已知两个以O为公共点且不全等的直角三角形AOB和COD，其中∠ABO=∠DCO=30°

(1)如图①，设∠BOD=α(0°<α<60°)，点E，F，M分别是AC，CD，DB中点，连接FM，EM。请问：随着α的变化，FM/EM的值是否变化，若不变，求出FM/EM值，若变化，请说明理由。

分析：为了便于运用中位线，及构造手拉手相似，连接EF，连接AD，BC交于点Q，AD交BO于点P

易证：△AOD～△BOC

∴AD/BC=AO/BO=tan30°=√3/3①

∠OAD=∠CBO

∵∠APO=∠BPQ

∴∠BQP=∠AOB=90°

∴AD⊥BC

由中位线：EF∥AD，MF∥BC

∴EF=1/2.AD，MF=1/2.BC

∴EF/MF=AD/BC=√3/3

Rt△EFM中：FM/EM=√3/2。

(2).如图②，若BO=3，点N在线段OD上，且NO=1，点P是线段AB上的一个动点，将△COD固定，△AOB饶点O旋转的过程中，求线段PN长度的最大值和最小值。

分析：运用运动相对性，不妨将△AOB看作静止，△COD绕点O转动

∵BO=3

∴OA=√3/3.OB=√3，AB=2.OA=2√3

点N运动轨迹：以点O为圆心，NO=1为半径的⊙O上运动

当：点N运动到：N、O、B共线时，且点P与点B重合，此时PN取得最大值

PN=NO+BO=1+3=4

当：点N运动到：O、N、P共线时，且OP⊥AB，此时PN取得最小值

1/2.AB.OP=1/2.OA.OB

∴OP=3/2

PN=OP−ON=1/2。