【八下期中】《平矩菱正》多解问题全覆盖

在上一讲中，我们研究了《【八下期中】巧用中点公式 突破平四存在性问题》，本讲，我们继续对刚开学时所学的《平矩菱正》作一个系统的整理，题目中所讲的“多解”，不仅指答案不止一种，还指解题方法不止一种哦，准备好了吗？我们开始吧！

一、解法多样

例1

如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB和AC于点E、F，连接DE、DF．试判定四边形AEDF的形状，并证明你的结论．

分析：

本题并不难，但在作业中，仍旧有许多同学出现了各种各样的问题，比如，对于“线段AD的垂直平分线”的理解不正确，认为AD和EF互相垂直平分．还有，对菱形的证明还是存在选择困难，到底是证四边相等，还是先证平行四边形．那就以本题为例，来细细分析下这样的证明题该怎样下手．

解答：

变式：

如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．

分析：

本题源自课课练，亦不难，关键还是先证明什么，后证明什么．显然，我们可以尝试多种方法先来证平行四边形，再证矩形．也可直接证三个角为90°．

解答：

小结：

以上两题，也许你会觉得多此一举，简单题，搞这么复杂干什么？其实是为了拓宽你的思路，用尽可能多的方法解决，可以加深你对各种证明方法的认识，帮助你的思维不断提升．以上就是一题多解法，接下来是一题多解答．

二、含多种解

例2

(2017· 黑龙江)在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD周长是_______．

分析：

本题不难，但却容易错，自己画图后，就会发现是一个经典的平行＋角平分，构造等腰三角形的模型，只需考虑腰长，继而可求周长．

解答：

变式：

已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为_____．

分析：

图形在旋转变换过程中，依旧是全等的，AE的长始终不变，根据落在直线BC上，可知，本题有2解．

解答：

综上，FC=1或5

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例3：

如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD 边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，当P、D、Q、B四点组成平行四边形时，求t.

分析：

本题中，显然只要满足PD＝BQ，P、D、Q、B四点组成的就一定是平行四边形．

由于两点速度不同，而点P只是从点A到点D，因此需要求出点Q往返的次数．

由于点P的速度是1cm/秒，总运动时间为12÷1＝12s，点Q运动的总路程为12×4＝48cm，点Q往返的次数为48÷12＝4次．接着，表示出BQ的长度是关键．

解答：

综上，t＝4.8或8或9.6．

变式：

分析：

本题会由于忽略正方形两种不同的放置方式，而导致漏解．尤其是边恰好在直线上时，这个最简单的情况最会忘．

解答：

END