初中几何问题探究：相似与比例的综合问题-证明题常用的方法归纳

证明题常用方法归纳：

（1）总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”

（2）找相似： 通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.

（3）找中间比： 若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.

即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。

比

（4） 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断地重复使用，直到被证结论证出为止.

注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。

（5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。

（6）对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。

例题精析

例题1：已知：如图，若以△ABC边AB、AC为边向外作矩形ABDE和矩形ACGF，AC=k AF,AB=k AE ,M、N分别为BC和DG的中点.试探究线段MN、BC之间的关系，并证明你的结论.

例题1

证明：延长BN使得BN=NH，连接HG、HC、NC,

又∵ ND=NG , ∠DNB=∠GNH

∴ △DNB≌△GNH

∴ BD=HG

延长BA交HG于Q点 ，

∵BD∥HG

∴∠AQG=∠ACG=90°

∴在四边形ACGQ中，∠AQG+∠ACG=180°，则 ∠HGC+∠QAC=180°

又∵∠BAC+∠QAC=180°,

∴∠HGC=∠BAC

又∵AC=k AF,AB=k AE ,

∴△BAC∽△HGC,

∴BC=kHC

∵M、N分别为BC和DG的中点

∴MN∥HC,

∴MN⊥BC,

∴HC=2MN

∴BC=2kMN

解析图

【总结与反思】延长BN，构造八字形全等，得到与BD相等的边HG，构造△BAC∽△HGC，从而可以得到HC与BC的关系，进而得到BC与MN的关系。

例2 ：如图11，在△OAB和△OCD中，∠A < 90°，OB = k OD(k > 1)，∠AOB =∠COD，∠OAB与∠OCD互补．试探索线段AB与CD的数量关系，并证明你的结论．

说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取⑴⑵中的一个条件

⑴k = 1(如图12)；

⑵点C在OA上，点D与点B重合(如图13)．

如图

解答如图：

如图

解析

（方法二）延长OC到点E，使OE=1/kOA，连接DE．证明△DOE∽△BOA，再证明△DCE是等腰三角形，进而证出结论．

（方法三）作DE⊥OC交OC的延长线于E，作BF⊥OA于F，证明△DOE∽△BOF，再证明△DCE∽△BAF，进而证出结论．（评分标准参照证法一）

选择（1）结论：AB =CD

证明：（方法一）在OA上取一点E，使OE= OC，连接EB

∵OB=OD，∠AOB=∠COD，

∴△OEB≌△OCD

∴EB=CD，∠OEB=∠OCD，

∵∠OAB+∠OCD=1800，

∴∠OAB+∠OEB=1800

∵∠AEB+∠OEB=1800，

∴∠OAB=∠AEB，

∴EB =AB

∴AB =CD

（方法二）延长OC到点E，使OE=OA，连接DE．证明△DOE≌△BOA，再证明△DCE

是等腰三角形，进而证出结论。

（方法三）作DE⊥OC交OC的延长线于E，作BF⊥OA于F，证明△DOE≌△BOF，

再证明△DCE≌△BAF，进而证出结论。

（评分标准参照证法一）

选择（2）结论：AB =CD

证明：

∵∠OAB+∠OCB=1800，∠ACB+∠OCB=1800，

∴∠OAB=∠ACB，

∴CB =AB

即AB =CD

【总结与反思】

方法一是截取图形构造相似形，方法二是补出图形构造相似形，方法三是作垂创造条件构造相似形。我们介绍的这三种证明方法，同时也适用于后面附加条件的证明。本题如若选择条件证明会相应地减掉一些分值。