函数y=-(sin2x)^2 1/(cos2x)^2的最小值

主要内容：

通过不等式法、二次函数判别式法以及导数法等知识，介绍求解函数y=-(sin2x)^2+1/(cos2x)^2最小值的过程和主要步骤。

不等式法：

思路：利用正数a,b,有不等式a+b≥2√ab成立。

对于本题有：

y=-(sin2x)^2+1/(cos2x)^2

=-[1-(cos2x)^2]+1/(cos2x)^2

=(cos2x)^2+1/(cos2x)^2-1

≥2√[(cos2x)^2*1/(cos2x)^2]-1

=2√1-1=1，即函数y的最小值ymin=1.

二次函数判别式法：

思路：将函数转换为cos2x的二次函数，利用有根判别式为非负数，进而求解函数最小值。

y=-(sin2x)^2+1/(cos2x)^2

y(cos2x)^2=-(sin2x)^2*(cos2x)^2+1

y(cos2x)^2=-(1-(cos2x)^2 )* (cos2x)^2+1

(cos2x)^4-(y+1)(cos2x)^2+1=0

判别式△=(y+1)^2-4≥0，即：

(y+1)^2≥4,所以ymin=1。

函数导数法

思路：对函数y求导，得函数的驻点，进而求出函数的最小值。

y=-(sin2x)^2+1/(cos2x)^2

dy/dx=(2*2cos2x*sin2x)/(cos2x)^4-4sin2x*cos2x

=2sin4x/(cos2x)^4-2sin4x

=2sin4x[1-(cos2x)^4]/ (cos2x)^4.

令dy/dx=0,则(cos2x)^4=1,即(cos2x)^2=1.

所以有ymin=-(1-1)+1/1=1.